Soluzioni
  • Ciao Giulialg88, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Se la prima parte consiste nel mostrare che il riferimento \{(0,0,1),(1,2,-1),(1,1,0)\} è una base di \mathbb{R}^3, essendo costituito da tre vettori, basterà provare che sono linearmente indipendenti, poiché la dimensione di \mathbb{R}^3 è 3.

    Per farlo, puoi scrivere i vettori del riferimento sotto forma di matrice e calcolarne il determinante: se è diverso da zero, allora i tre vettori sono linearmente indipendenti, in caso contrario no.

    Tecnicamente Laughing senza aver fatto questa verifica non avrebbe senso svolgere la seconda parte dell'esercizio. Per quella, hai voglia di raccontarmi come hai proceduto?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • il determinante è -1 quindi i 3 vettori sono lin indip

    per le componenti ho svolto questo sistema

    x3=1

    x1+2x2-x3= -1

    x1+x2=-1

    so che in questo caso le componenti dovrebbero essere tutti zeri ma risolvendo così mi viene (-2,1,1)

    forse ho sbagliato a procedere così...

    Risposta di Giulialg88
  • Mi sembra di aver capito che il procedimento che hai seguito consiste nel determinare le soluzioni del distema lineare costruito a partire dai vettori del nuovo riferimento e con termine noto il vettore u.

    In questo caso il procedimento è corretto, perché il sistema lineare equivale a determinare i coefficienti che permettono di scrivere il vettore u come combinazione lineare dei vettori del nuovo riferimento.

    Questo a patto di disporre i vettori del nuovo riferimento come vettori colonna nella matrice che si considera...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi? non ho capito...devo considerare la matrice trasposta? solitamente uso sempre questo procedimento e la prof mi ha sempre detto che andava bene...

    Risposta di Giulialg88
  • Ragiona un secondo: trovare le coordinate del vettore u rispetto al riferimento R=\{v_1,v_2,v_3\} vuol dire trovare dei coefficienti a,b,c tali che

    u=av_1+bv_2+cv_3

    ora pensa a come agisce il prodotto riga per colonna: gli elementi della prima colonna vengono moltiplicati per il primo elemento del vettore delle incognite, la seconda colonna della matrice viene moltiplicata per il secondo elemento del vettore delle incognite, etc...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • continuo a non capire

    Risposta di Giulialg88
  • "so che in questo caso le componenti dovrebbero essere tutti zeri ma risolvendo così mi viene (-2,1,1)"

    Aspetta: non ho capito perché dici che le componenti dovrebbero essere tutti zeri..

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • perchè i vettori sono linearmente indipendenti... quindi hanno tutti gli scalari=0...no?

    Risposta di Giulialg88
  • No...tutti i coefficienti di una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti sono nulli se la combinazione lineare è posta uguale al vettore identicamente nullo.

    Ad ogni modo, se disponi i vettori per riga nella matrice, non realizzi una combinazione lineare dei vettori del riferimento: devi prendere la trasposta, cioè la matrice con i vettori disposti per colonna.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • cioè (0  1  1)

           (0  2  1)

           (1  -1  0)

    riduco a scalini

    (1   -1  0)

    (0    1  1)

    (0   0   1)

    x1-x2=1

    x2+x3=-1

    x3=-1

    quindi...

    x1=1

    x2=0

    x3=-1

    sbagliato?

    Risposta di Giulialg88
  • se facessi

    (1,-1,-1)= x1(0,0,1)+x2(1,2,-1)+x3(1,1,0)

    x2+x3=1

    2x2+x3=-1

    x1-x2=-1 

    e risolvo questo sistema e mi trovo le componenti...

    è sbagliato?

    Risposta di Giulialg88
  • No, è corretto, ed è esattamente quello che ti dicevo prima quando parlavo delle coordinate come coefficienti della combinazione lineare dei vettori del nuovo riferimento. Stavo controllando perché mi sembra ci sia un errore nella riduzione a scalini: quando riduci a scala un sistema lineare, devi effettuare le operazioni di riduzione anche sul vettore dei termini noti..

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ah si,mi ero dimenticata,cmq grazie

    Risposta di Giulialg88
 
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