Radici terze in un'equazione complessa

Devo risolvere un'equazione complessa trovando le radici terze di un numero complesso non espresso in forma normale. Non ho idea di come procedere.

 

Risolvere la seguente equazione rispetto all'incognita complessa z

 

z^3=\frac{6[(-1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i]}{2-2i}

 

Come posso fare? Grazie.

In Uni - Analisi - Domanda di toguttina

Soluzioni

  • Risolvere l'equazione complessa

    z^3=\frac{6[(-1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i]}{2-2i}

    equivale a determinare le radici terze del numero complesso che si trova al secondo membro. Il calcolo delle radici di un numero complesso  avviene mediante una procedura ben precisa, ma che, almeno nel caso in esame, non conviene utilizzare immediatamente.

    Il numero complesso

    w=\frac{6[(-1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i]}{2-2i}=

    non è infatti espresso in forma algebrica, ma anzi è scritto come il rapporto di due numeri complessi. Cominciamo quindi semplificando w. Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato di 2-2i, ossia per 2+2i

    =\frac{6[(-1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i](2+2i)}{(2-2i)(2+2i)}=

    La regola sul prodotto tra una somma e una differenza e l'uguaglianza i^2=-1, derivante dalla definizione di unità immaginaria, consentono di esprimere la frazione come

    =\frac{6[(-1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i](2+2i)}{4+4}=\frac{6[(-1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i](2+2i)}{8}=

    Semplifichiamo il 6 al numeratore con 8 al denominatore

    =\frac{3[(-1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i]\cdot(2+2i)}{4}=

    ed eseguiamo il prodotto tra i numeri complessi al numeratore

    =\frac{-6+6\sqrt{3}-12i-6i^2-6\sqrt{3}i^2}{4}=\frac{12\sqrt{3}-12i}{4}=

    Possiamo raccogliere totalmente 12 al numeratore e semplificarlo in seguito con il 4 al denominatore, ottenendo l'espressione di w in forma cartesiana

    =\frac{12(\sqrt{3}-i)}{4}=3\sqrt{3}-3i

    In definitiva w=3\sqrt{3}-3i e l'equazione di partenza diventa

    z^3=3\sqrt{3}-3i

    Risolverla significa determinare le radici cubiche del numero complesso w: utilizziamo la procedura standard che richiede il calcolo di modulo e argomento di w.

    In base alla definizione, il modulo di un numero complesso coincide con la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e il quadrato della parte immaginaria, in simboli matematici:

    |w|=\sqrt{Re(w)^2+Im(w)^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=6

    Calcoliamo l'argomento di w, considerando (-\pi,\pi] come intervallo di variazione. Poiché la parte reale di w è positiva, l'argomento si ottiene mediante la relazione

    Arg(w)=\arctan\left(\frac{Im(w)}{Re(w)}\right)=\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}

    dove \arctan(\cdot) denota la funzione arcotangente.

    Ora che disponiamo del modulo e dell'argomento di w possiamo utilizzare la formula che fornisce le radici cubiche di un numero complesso espresse in forma trigonometrica

    \\ z_{k}=\sqrt[3]{|w|}\left[\cos\left(\frac{Arg(w)+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{Arg(w)+2k\pi}{3}\right)\right]= \\ \\ \\ =\sqrt[3]{6}\left[\cos\left(\frac{-\frac{\pi}{6}+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{6}+2k\pi}{3}\right)\right]

    dove k\in\{0,1,2\}. Rimpiazziamo i valori di k così da esplicitare le soluzioni

    \\ z_0=\sqrt[3]{6}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{18}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right)\right] \\ \\ \\ z_1=\sqrt[3]{6}\left[\cos\left(\frac{11\pi}{18}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right)\right] \\ \\ \\ z_2=\sqrt[3]{6}\left[\cos\left(\frac{23\pi}{18}\right)+i\sin\left(\frac{23\pi}{18}\right)\right]

    Abbiamo terminato.

    Osservazione: l'angolo \frac{23\pi}{18} non appartiene all'intervallo \left(-\pi,\pi\right] ma ciò non costituisce un errore: basta considerare l'angolo trigonometricamente equivalente che è -\frac{13\pi}{18}.

    Risposta di Ifrit
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