Radici terze in un'equazione complessa

Risolvere l'equazione complessa

equivale a determinare le radici terze del numero complesso che si trova al secondo membro. Il calcolo delle radici di un numero complesso  avviene mediante una procedura ben precisa, ma che, almeno nel caso in esame, non conviene utilizzare immediatamente.

Il numero complesso

non è infatti espresso in forma algebrica, ma anzi è scritto come il rapporto di due numeri complessi. Cominciamo quindi semplificando . Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato di , ossia per

La regola sul prodotto tra una somma e una differenza e l'uguaglianza , derivante dalla definizione di unità immaginaria, consentono di esprimere la frazione come

Semplifichiamo il 6 al numeratore con 8 al denominatore

ed eseguiamo il prodotto tra i numeri complessi al numeratore

Possiamo raccogliere totalmente 12 al numeratore e semplificarlo in seguito con il 4 al denominatore, ottenendo l'espressione di in forma cartesiana

In definitiva e l'equazione di partenza diventa

Risolverla significa determinare le radici cubiche del numero complesso : utilizziamo la procedura standard che richiede il calcolo di modulo e argomento di .

In base alla definizione, il modulo di un numero complesso coincide con la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e il quadrato della parte immaginaria, in simboli matematici:

Calcoliamo l'argomento di , considerando come intervallo di variazione. Poiché la parte reale di è positiva, l'argomento si ottiene mediante la relazione

dove denota la funzione arcotangente.

Ora che disponiamo del modulo e dell'argomento di possiamo utilizzare la formula che fornisce le radici cubiche di un numero complesso espresse in forma trigonometrica

dove . Rimpiazziamo i valori di così da esplicitare le soluzioni

Abbiamo terminato.

Osservazione: l'angolo non appartiene all'intervallo ma ciò non costituisce un errore: basta considerare l'angolo trigonometricamente equivalente che è .