Risolvere l'equazione complessa
equivale a determinare le radici terze del numero complesso che si trova al secondo membro. Il calcolo delle radici di un numero complesso avviene mediante una procedura ben precisa, ma che, almeno nel caso in esame, non conviene utilizzare immediatamente.
Il numero complesso
non è infatti espresso in forma algebrica, ma anzi è scritto come il rapporto di due numeri complessi. Cominciamo quindi semplificando
. Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato di
, ossia per
La regola sul prodotto tra una somma e una differenza e l'uguaglianza
, derivante dalla definizione di unità immaginaria, consentono di esprimere la frazione come
Semplifichiamo il 6 al numeratore con 8 al denominatore
ed eseguiamo il prodotto tra i numeri complessi al numeratore
Possiamo raccogliere totalmente 12 al numeratore e semplificarlo in seguito con il 4 al denominatore, ottenendo l'espressione di
in forma cartesiana
In definitiva
e l'equazione di partenza diventa
Risolverla significa determinare le radici cubiche del numero complesso
: utilizziamo la procedura standard che richiede il calcolo di modulo e argomento di
.
In base alla definizione, il modulo di un numero complesso coincide con la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e il quadrato della parte immaginaria, in simboli matematici:
Calcoliamo l'argomento di
, considerando
come intervallo di variazione. Poiché la parte reale di
è positiva, l'argomento si ottiene mediante la relazione
dove
denota la funzione arcotangente.
Ora che disponiamo del modulo e dell'argomento di
possiamo utilizzare la formula che fornisce le radici cubiche di un numero complesso espresse in forma trigonometrica
dove
. Rimpiazziamo i valori di
così da esplicitare le soluzioni
Abbiamo terminato.
Osservazione: l'angolo
non appartiene all'intervallo
ma ciò non costituisce un errore: basta considerare l'angolo trigonometricamente equivalente che è
.
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