Calcolare un integrale improprio di prima specie

Salve, ho calcolato il valore del seguente integrale improprio di prima specie:

∫_9^(+∞)(1)/(x√(x)(√(x)−1))dx

Volevo sapere se l'ho svolto bene, il risultato mi viene: 0.144.

Domanda di Volpi
Soluzioni

Ciao Volpi, arrivo a risponderti...:)

Risposta di Omega

Il risultato torna con il calcolatore! Wink

Che ne dici di raccontare il procedimento a parole?

Namasté!

Risposta di Omega

Allora, ho usato la definizione di integrale improprio di prima specie. Per calcolare il corrispondente integrale, ho sostituito t = √(x) e di conseguenza t = x^2 e dunque dx = 2tdt.

Così mi torna:

∫_(3)^(+∞)(2tdt)/(t^2t(t−1))

Poi continuando con il metodo dei fratti semplici e risolvendo un pò arrivo a:

lim_(a → +∞)−2[−(1)/(t)+ln((t)/(t−1))]_(3)^(a)

Un'ultima cosa: l'esercizio chiedeva calcolare l'integrale dopo averne giustificato la convergenza attraverso un'analisi asintotica per riferimento con un integrale improprio notevole

Io qui ho risposto:

g(x) ~ _(x → +∞)(1)/(x^2)

Quindi per confronto trovo 1/x^(α) con α > 1, dunque l'integrale improprio è convergente.

E' giusto?

Risposta di Volpi

Il procedimento di integrazione per sostituzione e la calcolo dell'integrale improprio di prima specie sono corretti (a parte un errore di battitura all'inizio in t = x^2, ma è chiaro che intendevi x = t^2.

L'equivalenza asintotica sull'integranda per x → +∞ e le osservazioni sulla convergenza, allo stesso modo, sono corrette!

Namasté!

Risposta di Omega

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