Caratteristiche di un fascio di parabole

Date le equazioni del fascio di parabole, stabilire le caratteristiche delle parabole del fascio, cioè determinare se la parabole passano tutte per 2 punti, oppure se non hanno punti in comune, oppure se passano tutte per un punto e, in questo caso, se ammette una tangente comune, se vi sono parabole degeneri (rette o coppie di rette), ecc..


y-x^2+x-1+k(y+2x^2-5x-1) = 0.

Domanda di Klelia
Soluzione

Eccoci, Klelia.

Consideriamo il fascio di parabole

y-x^2+x-1+k(y+2x^2-5x-1)=0

Per prima cosa dobbiamo trovare le parabole generatrici, che sono

y = x^2-x+1

ottenuta per k = 0, e

y = -2x^2+5x+1

ottenuta per k → +∞.

Vediamo se hanno punti in comune: mettendole a sistema

y = x^2-x+1 ; y = -2x^2+5x+1

troviamo per sostituzione

x^2-x+1 = -2x^2+5x+1

cioè

3x^2-6x = 0

ossia x(3x-6) = 0, una semplice equazione di secondo grado che ammette come soluzioni x = 0, x = 2.

Risostituendo questi valori in una delle due parabole generatrici, troviamo rispettivamente

y = +1, y = +3.

Quindi i punti base del fascio sono (0,1) e (2,3), e tutte le parabole del fascio passano per questi punti.

Namasté - Agente

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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