Caratteristiche di un fascio di parabole

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Date le equazioni del fascio di parabole, stabilire le caratteristiche delle parabole del fascio, cioè determinare se la parabole passano tutte per 2 punti, oppure se non hanno punti in comune, oppure se passano tutte per un punto e, in questo caso, se ammette una tangente comune, se vi sono parabole degeneri (rette o coppie di rette), ecc..


y-x^2+x-1+k(y+2x^2-5x-1) = 0.

Domanda di Klelia

 
Soluzioni

  • Eccoci, Klelia.

    Consideriamo il fascio di parabole

    y-x^2+x-1+k(y+2x^2-5x-1)=0

    Per prima cosa dobbiamo trovare le parabole generatrici, che sono

    y = x^2-x+1

    ottenuta per k = 0, e

    y = -2x^2+5x+1

    ottenuta per k → +∞.

    Vediamo se hanno punti in comune: mettendole a sistema

    y = x^2-x+1 ; y = -2x^2+5x+1

    troviamo per sostituzione

    x^2-x+1 = -2x^2+5x+1

    cioè

    3x^2-6x = 0

    ossia x(3x-6) = 0, una semplice equazione di secondo grado che ammette come soluzioni x = 0, x = 2.

    Risostituendo questi valori in una delle due parabole generatrici, troviamo rispettivamente

    y = +1, y = +3.

    Quindi i punti base del fascio sono (0,1) e (2,3), e tutte le parabole del fascio passano per questi punti.

    Namasté - Agente

    Risposta di Omega
 
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