Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x-1}}=(\bullet)

    si può percorrere in qualche modo la strada della razionalizzazione. Noi comunque cerchiamo di cavarcela in un altro modo: applicando il limite notevole

    \lim_{f(x)\to 0}{\frac{(1+f(x))^c-1}{f(x)}}=c

    e considerando l'equivalenza asintotica associata

    (1+f(x))^{c}-1\sim_{f(x)\to 0}c\cdot f(x)

    Per poterlo fare, ci servirà un piccolo magheggio algebrico: sommeremo e sottrarremo 1 all'interno della radice a numeratore

    (\bullet)=\lim_{x\to 1}{\frac{\sqrt[3]{1+(x-1)}-1}{\sqrt[3]{x-1}}}=

    e in accordo con la definizione di potenza con esponente fratto scriveremo il limite nella forma equivalente

    =\lim_{x\to 1}{\frac{(1+(x-1))^{\tfrac{1}{3}}-1}{(x-1)^{\tfrac{1}{3}}}}=

    Sostituiamo al termine (1+(x-1))^{\tfrac{1}{3}}-1 la relativa stima

    =\lim_{x\to 1}{\frac{\frac{1}{3}(x-1)}{(x-1)^{\tfrac{1}{3}}}}=

    e invocando le proprietà delle potenze giungiamo al limite

    \\ =\lim_{x\to 1}{\frac{1}{3}(x-1)^{1-\frac{1}{3}}}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 1}{\frac{1}{3}(x-1)^{\tfrac{2}{3}}}=0

    Abbiamo finito.

    Un consiglio prima dei saluti: leggi la lezione dedicata a come si usano i limiti notevoli nella risoluzione dei limiti.

    Namasté!

    Risposta di Ifrit
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