Soluzioni
  • Ciao Namis, grazie per aver riaperto la domanda, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci: i due risultati di cui chiedi sono basilari ma non difficili da ricavare.

    Per vedere che qualunque sistema di vettori contenente il vettore nullo è linearmente dipendente, basta osservare che, detto esso \{v_0,v_1,...,v_n\} con v_0=(0,...,0), puoi annullare le combinazioni lineari dei vettori del sistema prendendo coefficienti della combinazione non tutti nulli. Infatti, per ogni \alpha\neq 0

    \alpha v_0 + 0v_1+0v_2+...+0v_n=(0,...0)

    è una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli . Il sistema è linearmente dipendente.

    Invece, per dimostrare che lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale, ti basta osservare che:

    1) Dati x,y tali che Ax=0=Ay allora risulta pure che

    A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0

    quindi x+y è soluzione del sistema omogeneo.

    2) Dato x tale che Ax=0, comunque scelto uno scalare \alpha\in\mathbb{R}, risulta che

    A(\alpha x)=\alpha Ax=\alpha 0=0

    quindi \alpha x è una soluzione del sistema omogeneo, che quindi è un sottospazio vettoriale.

    Che contenga il vettore identicamente nullo, tra l'altro, è banale!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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