Equazione differenziale con termine noto esponenziale e coseno

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Non so come risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine con termine noto non omogeneo, in cui in particolare è presente un termine con una esponenziale e un coseno:

 

y''(x)+2 y'(x)+3 y(x) = e^(-x)cos(x)

 

Grazie a tutti!

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Eccomi ciao volpi arrivo! :)

    Risposta di Ifrit

  • Partiamo dalla equazione differenziale omogenea associata:

    y''(x)+2 y'(x)+3 y(x) = 0

    L'equazione caratteristica è:

    t^2+2t+3 = 0

    le cui radici sono:

    t_(1, 2) = -1±i √(2)

    Infatti il discriminante:

    Δ = 4-14 = -10

    Pertanto la famiglia delle soluzioni della omogenea è:

    y_o = c_1 e^(-x)sin(√(2)x)+c_2 e^(-x)cos(√(2)x)

    Adesso andiamo per la soluzione particolare. Il secondo membro della equazione differenziale è:

    f(x) = e^(-x)cos(x)

    cioè si presenta nella forma e^(α x)cos(β x) con α = -1, β = 1

    Poiché il valore α+iβ = -1+i non è soluzione della equazione caratteristica allora la soluzione particolare sarà

    y_p(x) = e^(α x)(Acos(β x)+Bsin(β x)) =

    y_p(x) = e^(-x)(Acos(x)+Bsin(x)) =

    A questo punto determini le costanti:

    Calcola la derivata prima e seconda della soluzione particolare e sostituisci nella equazione differenziale originaria in modo da determinare i valori di A e B

    Dovranno uscire A= 1 e B=0. Prova a farli se non ci riesci chiedi :P

    Risposta di Ifrit

  • tutto perfetto grazie:)

     

    Risposta di Volpi
 
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