Soluzioni
  • Eccomi, White, nella speranza di saperti rispondere :)

    Risposta di Ifrit
  • Prima di iniziare, il limite è:

     

    \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\arctan(x)x)-x\sin(x)}{\cos(x)- e^{-\frac{x^2}{2}}}

     

    Confermi per piacere? :D

    Risposta di Ifrit
  • si è  questo :D

    Risposta di WhiteC
  • Ti faccio vedere come ho fatto io:

    Sviluppo l'arcotangente fino al 3 ordine:

    \arctan(x)= x-\frac{x^3}{3}+ o(x^3)

    Moltiplicando per x otterremo:

    x\arctan(x)= x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)

     

    Adesso sviluppo il logaritmo fino al secondo ordine:

    \log(1+t)= t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)

    Al posto di t inseriamo lo sviluppo di x\arctan(x), cioè:

    (x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4))-\frac{(x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4))^2}{2}+o(x^4)

     

    Facendo i conti e trascurando i termini di grado superiore a 4 otterremo:

    \log(1+x \arctan(x))= x^2-\frac{5}{6}x^4+o(x^4)

    Allo stesso modo:

    x\sin(x)= x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)

    Di conseguenza il numeratore si scrive come:

    {\log(1+x \arctan(x))-x\sin(x)= -\frac{2x^4}{3}+o(x^4)

    Finora t'è chiaro?

    Risposta di Ifrit
  • si mi è chiaro fin'ora ,però perchè hai sviluppato l'arctg fino a 3?

    Risposta di WhiteC
  • La domanda che poni è molto frequente tra noi studenti :) L'esperienza aiuta moltissimo. Dietro c'è un ragionamento, ma purtroppo diciamo che è abbastanza lungo e non credo che questa sia la sezione migliore per parlarne. C'è il forum! nel qual le discussioni sono più tranquille. Come puoi vedere questa sezione del sito è dedicata a domande veloci, e quella che hai posto è delicata e pretende una risposta assennata e ragionata. :D

    Una risposta superficiale può essere: sviluppando tutto il numeratore fermandomi al secondo ordine non mi rimangono termini non nulli.

    Risposta di Ifrit
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