Esercizio forme quadratiche: matrice associata, segno, forma normale e forma canonica

Le forme quadratiche sono un argomento che abbiamo trattato molto sommariamente a lezione, eppure in una prova d'esame di Algebra Lineare è stato assegnato un esercizio davvero complicato. Data una forma quadratica viene chiesto di scrivere la matrice associata, di studiarne il segno, di determinare la forma canonica e la forma normale e di specificare le basi attraverso cui si realizzano. Eccovi la traccia...

Si consideri la forma quadratica data da:

(a) Scrivere la matrice associata;

(b) studiare il segno di ;

Domanda di Niki_89

Soluzioni

Consideriamo la forma quadratica definita da:
Dobbiamo:
- scrivere la matrice associata alla forma quadratica;
- studiare il segno di ;
- calcolare la forma canonica e la forma normale di e le basi con cui si realizzano.
Matrice associata a
La matrice associata a è una matrice simmetrica di ordine tre, , tale che:
- gli elementi della diagonale principale sono i coefficienti dei termini
;
- gli elementi di posto , con , sono simmetrici e pari alla metà dei coefficienti dei termini
Dall'espressione esplicita di abbiamo che
e ogni altro elemento è nullo, per cui
Segno della forma quadratica
Il segno della forma quadratica coincide con la definitezza della matrice simmetrica , che dipende dal segno dei suoi autovalori. Calcoliamoli!
Il polinomio caratteristico associato ad è
sviluppiamo il determinante con Laplace, rispetto alla seconda riga
I suoi zeri, e quindi gli autovalori di , sono
con molteplicità algebrica 2;
con molteplicità algebrica 1.
Poiché sono tutti positivi, e la forma quadratica sono definite positive.
Forma canonica di
Per il teorema degli assi principali, la forma canonica di una forma quadratica definita su è:
dove sono gli autovalori della matrice associata a e riportati con le loro molteplicità algebriche.
Ciò premesso, nel nostro caso, la forma canonica di è:
La base con cui si ottiene è una base ortonormale di formata da autovettori di , la cui esistenza è assicurata dal teorema spettrale reale.
Per calcolarla, la prima cosa da fare è individuare una base di costituita da autovettori di , per poi renderla ortonormale.
Gli elementi di si ottengono unendo le basi degli autospazi e associati agli autovalori di .
Una base di coincide con una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo
ossia
La sua forma esplicita è
La matrice a esso associata ha rango 1 dunque, per il teorema Rouché-Capelli, ammette soluzioni, date da
di conseguenza una base dell'autospazio è formata dai vettori
Procedendo allo stesso modo, ossia calcolando una base dello spazio delle soluzioni del sistema
si ottiene che una base di è individuata dal vettore
In definitiva, una base di i cui elementi sono autovettori di è
Ortonormalizziamola!
Osserviamo che è già una base ortogonale, infatti
di conseguenza una base che realizza la forma canonica di è:
dove sono, rispettivamente, i normalizzati dei vettori , ossia
Calcoliamo le norme
dunque
Forma normale di
Poiché ha tre autovalori positivi, la forma normale di è
e la base con cui si realizza è formata dai vettori
ossia
È tutto!
Risposta di Galois