Soluzioni
  • Ciao Fibonacci, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La serie in questione è 

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left(1-\sqrt{1-\left(\frac{n!}{n^n}\right)}\right)^2}

    Se sì, conosci la formula di Stirling?

    Fammi sapere, così risolviamo

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • no

    Risposta di fibonacci
  • La formula di Stirling asserisce che

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}}

    Quindi in particolare se ne deduce che 

    \frac{n!}{n^2}\sim \frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n}

    In alternativa, se la formula non ti piace, si tratta di effettuare un paio di confronti asintotici con i limiti notevoli:

    1-\sqrt{1-\frac{n!}{n^n}}=-\left(\sqrt{1-\frac{n!}{n^n}}-1\right)\simeq -\frac{1}{2}\left(-\frac{n!}{n^n}\right)

    dovrebbe infatti essere chiaro che \frac{n!}{n^n}\to 0 per n\to +\infty.

    A questo punto, elevando al quadrato, si ottiene che il termine generale della serie data è asintoticamente equivalente al termine generale di una serie convergente

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{4}\left(\frac{n!}{n^n}\right)^2}

    la cui convergenza si dimostra facilmente con il criterio della radice, ad esempio.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ciao,perdonate l'intrusione..

    ma se per vedere la convergenza di questa serie si calcola il limite della succ..è sbagliato?

    non viene 0 il limite per cui la serie converge?

    Risposta di WhiteC
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