Soluzioni
  • ancora non so usare bene il latex(quindi mi appoggio ai siti online automatici): cqm il limite è qst:alt

    Risposta di Volpi
  • Ciao Volpi, arrivo a risponderti...(cavolo, c'eri quasi con il LaTeX, mancavano solo i tag di apertura e chiusura codice e un paio di errorini di sintassi...). A proposito: il limite è questo qui?

    \lim_{x\to 0^+}{\frac{\sqrt{1+sin(x)}-1-\frac{1}{2}x}{x^\alpha }}

    Fammi sapere...

    Risposta di Omega
  • si è quello

    Risposta di Volpi
  • Per risolvere il limite, bisogna sviluppare in serie di Taylor-Mc Laurin la funzione

    \sqrt{1+\sin{(x)}}-1

    facendo ciò (fermiamoci al secondo ordine nello sviluppo), si trova

    \sqrt{1+\sin{(x)}}-1=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^3)

    quindi sostituendo lo sviluppo a numeratore troviamo 

    \lim_{x\to 0}{\frac{\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^3)-\frac{x}{2}}{x^{\alpha}}}

    ossia

    \lim_{x\to 0}{-\frac{x^2}{8}+o(x^3)}}{x^{\alpha}}}

    e in definitiva calcoliamo il limite della funzione

    -\frac{1}{8}x^{2-\alpha}

    per x\to 0.

    Abbiamo i seguenti casi

    \alpha=2 il limite vale -1/8

    \alpha>2 il limite vale \infty

    {tex}\alpha

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
  • Una cosa non mi è chiara: quando sviluppo Taylor non è sempre necessario fermarsi allo stesso ordine, quando è funzione di funzione? O sbaglio?

    Del tipo, per \sin(x) mi fermo a:

    \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)

    e per \sqrt{1+x} mi fermo a:

    1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3+o(x^3)

    o no?

    Risposta di Volpi
  • In linea di massima, è cosa buona e giusta. Ma tutto dipende da come sono disposte le funzioni che sviluppi nella funzione di cui calcoli il limite. Nel nostro caso, se vuoi procedere in quel modo, basterà fermarti al secondo ordine di sviluppo.

    Per come ho proceduto io il problema non si pone, perché ho sviluppato la funzione senza considerarla come composizione di funzioni, bensì come un'unica funzione...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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