Soluzioni
  • Procediamo con ordine e calcoliamo dapprima una base del sottospazio

    U=\mbox{Span}((1,1,1), \ (2,2,2), \ (-3,3,-3))

    per poi scrivere una base di \mathbb{R}^3 che contenga la base di U trovata.

    Calcolo di una base di U

    U è il sottospazio generato dai vettori

    \mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,2,2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(-3,3,-3)

    che, per definizione di sottospazio generato, costituiscono un sistema di generatori di U.

    Per calcolare una base di U è allora sufficiente estrarre una base dal sistema di generatori \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}.

    Procediamo con il metodo degli scarti successivi.

    \mathbf{v}_1=(1,1,1) è un vettore non nullo, per cui lo teniamo;

    \mathbf{v}_2=(2,2,2) è il doppio di \mathbf{v}_1, di conseguenza \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 sono linearmente dipendenti e quindi \mathbf{v}_2 va scartato.

    Infine, i vettori \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_3=(-3,3,-3) sono indipendenti, infatti la matrice che ha per righe i due vettori ha rango uguale a 2

    \mbox{rk}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ -3&3&-3\end{pmatrix}=2

    Per convincersene basta considerare la sottomatrice che si ottiene dall'eliminazione dell'ultima colonna e osservare che ha determinante diverso da zero.

    \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1 \\ -3&3\end{pmatrix} = 3+3=6 \neq 0

    Alla luce di ciò, una base di U è

    \mathcal{B}_{U}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3\} = \{(1,1,1), \ (-3,3,-3)\}.

    Base di \mathbb{R}^3 che contiene la base di U

    Per ultimare l'esercizio occorre trovare una base di \mathbb{R}^3 che contiene \mathcal{B}_{U}, ossia dobbiamo completare a base di \mathbb{R}^3 l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3\}.

    La dimensione dello spazio vettoriale \mathbb{R}^3 è 3, per cui una sua base è formata da tre vettori di \mathbb{R}^3 linearmente indipendenti.

    Abbiamo già osservato che l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3\} è indipendente, pertanto per completarlo a base di \mathbb{R}^3 basta aggiungere un terzo vettore \mathbf{v} che non sia una loro combinazione lineare.

    Ovviamente vi sono infiniti vettori tra cui scegliere. Optiamo per uno tra i più semplici come, ad esempio, \mathbf{v}=(1,0,0).

    L'insieme \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}\} è indipendente, infatti la matrice che ha per righe le componenti dei tre vettori ha determinante diverso da zero

    \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ -3&3&-3 \\ 1&0&0\end{pmatrix} = -6

    e quindi il suo rango è uguale a 3; di conseguenza \mathcal{B} è una base di \mathbb{R}^3 che contiene \mathcal{B}_{U}.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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