Base di R^3 contenente una base di un sottospazio

Procediamo con ordine e calcoliamo dapprima una base del sottospazio

per poi scrivere una base di che contenga la base di trovata.

Calcolo di una base di

è il sottospazio generato dai vettori

che, per definizione di sottospazio generato, costituiscono un sistema di generatori di .

Per calcolare una base di è allora sufficiente estrarre una base dal sistema di generatori .

Procediamo con il metodo degli scarti successivi.

è un vettore non nullo, per cui lo teniamo;

è il doppio di , di conseguenza e sono linearmente dipendenti e quindi va scartato.

Infine, i vettori e sono indipendenti, infatti la matrice che ha per righe i due vettori ha rango uguale a 2

Per convincersene basta considerare la sottomatrice che si ottiene dall'eliminazione dell'ultima colonna e osservare che ha determinante diverso da zero.

Alla luce di ciò, una base di è

.

Base di che contiene la base di

Per ultimare l'esercizio occorre trovare una base di che contiene , ossia dobbiamo completare a base di l'insieme .

La dimensione dello spazio vettoriale è 3, per cui una sua base è formata da tre vettori di linearmente indipendenti.

Abbiamo già osservato che l'insieme è indipendente, pertanto per completarlo a base di basta aggiungere un terzo vettore che non sia una loro combinazione lineare.

Ovviamente vi sono infiniti vettori tra cui scegliere. Optiamo per uno tra i più semplici come, ad esempio, .

L'insieme è indipendente, infatti la matrice che ha per righe le componenti dei tre vettori ha determinante diverso da zero

e quindi il suo rango è uguale a 3; di conseguenza è una base di che contiene .

Fine!