Soluzioni
  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La matrice associata all'applicazione lineare è evidentemente data da

    A=\left[\begin{matrix}-3&9&6\\ 4&-12&-8\\ \frac{8}{3}&-8&-\frac{16}{3}\end{matrix}\right]

    Come autovalori (zeri del polinomio caratteristico P(\lambda)=det(A-\lambda I)) si trovano:

    \lambda_1=-\frac{61}{3}

    \lambda_2=0

    \lambda_3=0

    Fin qui ti tornano i calcoli?

    Risposta di Omega
  • ok..gli stessi che vengono anche a me

    Risposta di matteo
  • Ora per trovare gli autovettori non devi fare altro che trovare una base dello spazio delle soluzioni dei sistemi

    (A-\lambda_i I)v=0

    Nel caso di \lambda_2=\lambda_3=0, l'autospazio coincide con il nucleo dell'applicazione lineare, quindi se ne hai già determinato una base, i suoi elementi sono proprio gli autovettori associati all'autovalore di molteplicità algebrica 2 \lambda_2=\lambda_3=0

    Nel caso dell'autovalore \lambda_1=-\frac{61}{3}, abbiamo il sistema lineare

    (A-\frac{61}{3} I)v=0

    il cui spazio delle soluzioni ha dimensione 1 e come unico generatore l'autovettore

    \left(-\frac{9}{8},\frac{3}{2},1\right)

    In particolare l'autovalore 0 ha molteplicità geometrica 2, mentre l'autovalore -61/3 ha molteplicità geometrica 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • L'autospazio generato dall'autovalore 0, ha dimensione 2 e mi torna e coicide con il nucleo

    questa cosa è normale oppure no? un autospazio può coicidere con il nucleo anche per altri autovalori, tipo 1,2....n per esempio?  gli autovalori possono solo essere numeri naturali o possono anche essere reali e complessi?

    poi per quanto riguarda l'autospazio generato dal terzo autovalore mi torna anche quello

     

    Risposta di matteo
  • Per tutto quello che ti torna: ottimo!

    Per l'ultima domanda, se \lambda=0 è un autovalore della matrice, allora l'autospazio associato ad esso coincide sempre con il nucleo della matrice, infatti il sistema omogeneo che definisce l'autospazio dell'autovalore \lambda è

    \left(A-\lambda I\right)v=0

    e nel caso \lambda=0 si riduce esattamente al sistema lineare omogeneo che definisce il nucle dell'applicazione lineare rappresentata dalla matrice

    Av=0

    In generale, gli autovalori sono complessi \mathbb{R}\subset\mathbb{C}; in molti casi sono reali, in pochissimi casi sono interi. Tieni comunque conto del fatto che stiamo parlando di insiemi che sono conenuti nel campo complesso.

    A proposito: in accordo con il teorema fondamentale dell'Algebra, una qualsiasi matrice a coefficienti reali di dimensione n ha sempre n autovalori, non necessariamente distinti, nel campo complesso.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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