Soluzioni
  • Prima di risolvere l'esercizio facciamo un breve riepilogo su come si calcolano autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo.

    Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n definito su un campo \mathbb{K} e f:V \to V un endomorfismo.

    Per determinare autovalori, autospazi e autovettori di f occorre:

    - fissare una base \mathcal{B} di V e calcolare la matrice associata a f rispetto a \mathcal{B}.

    - Detta A questa matrice, calcolare gli zeri del polinomio caratteristico p_A(\lambda) associato ad A: quelli che appartengono al campo \mathbb{K} sono gli autovalori di f. Siano tali autovalori \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r.

    - Per ogni \lambda_i con i \in \{1,2,...,r\}, fissare un generico elemento \mathbf{v} \in V e considerare il vettore \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)^T delle coordinate rispetto alla base \mathcal{B} di \mathbf{v}.

    - Determinare una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo

    (A-\lambda_i \mbox{Id}_n) \mathbf{x} = \mathbf{0}

    dove \mbox{Id}_n è la matrice identità di ordine di A e \mathbf{0} \in \mathbb{R}^n è il vettore colonna nullo.

    - Gli elementi della base dello spazio delle soluzioni sono vettori di coordinate rispetto alla base \mathcal{B} e, da essi, si devono ricavare i vettori di V corrispondenti: questi vettori generano l'autospazio V_{\lambda_i} associato all'autovalore \lambda_i e i suoi elementi non nulli sono gli autovettori di f riferiti a \lambda_i.

    Abbiamo ora tutto quello che serve per risolvere l'esercizio!

    Dato il seguente endomorfismo tra spazi di polinomi

    f:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x]

    tale che

    f(a+bx+cx^2)=-b+ax+cx^2

    dobbiamo calcolarne autovalori, autospazi e autovettori.

    \mathbb{R}_2[x] è lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2, a coefficienti reali, nell'indeterminata x. Prendiamone la base canonica:

    \mathcal{C}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}=\{1,x,x^2\}

    Calcoliamo la matrice A associata a f rispetto a tale base: le colonne di A sono le coordinate rispetto a \mathcal{C} delle immagini mediante f degli elementi di \mathcal{C}.

    Determiniamo, allora, le immagini dei polinomi

    p_1(x)=1 \ \ ; \ \ p_2(x)=x \ \ ; \ \ p_3(x)=x^2

    p_1(x)=1 è un polinomio della forma

    a+bx+cx^2 \ \ \mbox{ con } a=1, \ b=c=0

    per cui

    f(p_1(x))=f(1)=-0+1x+0x^2=x

    p_2(x)=x si presenta nella forma

    a+bx+cx^2 \ \ \mbox{ con } b=1, \ a=c=0

    dunque

    f(p_2(x))=f(x)=-1+0x+0x^2=-1

    Infine, p_3(x)=x^2 è del tipo

    a+bx+cx^2 \ \ \mbox{ con } c=1, \ a=b=0

    cosicché

    f(p_3(x))=f(x^2)=-0+0x+1x^2=x^2

    Determiniamo, ora, le coordinate rispetto alla base \mathcal{C} dei vettori immagine:

    \\ \left[f(1)\right]_{\mathcal{C}}=\left[x\right]_{\mathcal{C}}=(0,1,0) \\ \\ \left[f(x)\right]_{\mathcal{C}}=\left[-1\right]_{\mathcal{C}}=(-1,0,0) \\ \\ \left[f(x^2)\right]_{\mathcal{C}}=\left[x^2\right]_{\mathcal{C}}=(0,0,1)

    di conseguenza

    A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    Il polinomio caratteristico di A è:

    \\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}-\lambda & -1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=

    per calcolare il determinante procediamo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga, in quanto ha due elementi nulli

    =(1-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda\end{pmatrix}=

    sviluppiamo il determinante della matrice di ordine 2

    =(1-\lambda)(\lambda^2+1)

    Gli zeri di p_A(\lambda) sono:

    \lambda_1=1 \ \ ; \ \ \lambda_2=\imath \ \ ; \ \ \lambda_3=-\imath

    Poiché \mathbb{R}_2[x] è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} gli autovalori di f sono gli zeri reali di p_A(\lambda), per cui l'unico autovalore di f è \lambda_1=1.

    Per concludere l'esercizio determiniamo l'autospazio e gli autovettori corrispondenti.

    Sia \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T il vettore colonna delle coordinate rispetto alla base \mathcal{C} di un generico polinomio di \mathbb{R}_2[x] e determiniamo una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo

    (A-\lambda_1 \mbox{Id}_3) \mathbf{x} = \mathbf{0}

    Effettuiamo le varie sostituzioni e otteniamo

    \left[\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

    da cui

    \begin{pmatrix}-1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

    Dopo aver svolto il prodotto tra matrici si ricava la sua forma esplicita

    \begin{cases}-x_1-x_2=0 \\ x_1-x_2=0\end{cases}

    La matrice associata ha rango pari a 2 dunque, per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ammette \infty^1 soluzioni date da:

    (x_1,x_2,x_3)=(0,0,a)=a(0,0,1) \ \ \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

    Da ciò deduciamo che una base dello spazio delle soluzioni è

    \mathcal{B}_{Sol}=\{(0,0,1)\}

    Il vettore che definisce \mathcal{B}_{Sol} è un vettore di coordinate rispetto alla base \mathcal{C}, a cui risulta associato il polinomio

    p_3(x)=x^2

    In definita, l'autospazio associato all'autovalore \lambda_1=1 è il sottospazio generato dal polinomio x^2

    V_{\lambda_1}=\mbox{Span}(x^2)

    e gli autovettori di f sono tutti e soli gli elementi non nulli di V_{\lambda_1}, ossia tutti i polinomi della forma

    ax^2 \ \ \mbox{ con } a \neq 0

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare