Soluzioni
  • Per calcolare il limite di successione

    \lim_{n\to+\infty}\frac{n!\sin^4\left(\frac{1}{n}\right)+2n^7}{n!\left(e^{\frac{1}{n^2}}+2\cos\left(\frac{1}{n}\right)-3\right)+3n^7}

    occorre rifarsi alla teoria delle successioni asintotiche e a quella relativa agli sviluppi di Taylor per le successioni. Più precisamente useremo:

    - lo sviluppo del seno

    \sin\left(a_n\right)= a_n+o(a_n)

    valido a patto che il suo argomento sia infinitesimo, ossia a_n\to 0 per n\to +\infty;

    - lo sviluppo dell'esponenziale

    e^{a_n}=1+a_n+\frac{a_n^2}{2}+\frac{a_n^3}{6}+\frac{a_n^4}{24}+o(a_n^4)

    valido fintantoché la successione all'esponente è infinitesima: a_n\to 0 per n\to +\infty;

    - lo sviluppo del coseno

    \cos(a_n)=1-\frac{a_n^2}{2}+\frac{a_n^4}{24}+o(a_n^4)

    che vale nel momento in cui l'argomento è infinitesimo: a_n\to 0 per n\to +\infty.

    Dopo aver riportato gli sviluppi noti, applichiamoli alle funzioni in gioco

    \sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)

    Se eleviamo alla quarta membro a membro ricaviamo

    \\ \sin^4\left(\frac{1}{n}\right)=\left[\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right]^4=

    Sviluppiamo la potenza quarta aiutandoci con il triangolo di Tartaglia, se fosse necessario

    \\ =\frac{1}{n^4}+\frac{4}{n^3}\cdot o\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{6}{n^2}\cdot \left[o\left(\frac{1}{n}\right)\right]^2+\\ \\ \\ +\frac{4}{n}\left[o\left(\frac{1}{n}\right)\right]^3+\left[o\left(\frac{1}{n}\right)\right]^4=

    dopodiché usiamo le proprietà degli o-piccolo con cui l'espressione diventa

    \\ =\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)+o\left(\frac{1}{n^6}\right)+o\left(\frac{1}{n^4}\right)+o\left(\frac{1}{n^4}\right)=\\ \\ \\ =\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

    pertanto

    \sin^4\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

    Per quanto concerne il termine esponenziale, il suo sviluppo è:

    e^{\frac{1}{n^2}}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

    mentre quello del coseno risulta

    \cos\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{24n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

    pertanto lo sviluppo dell'espressione

    e^{\frac{1}{n^2}}+2\cos\left(\frac{1}{n}\right)-3=

    è

    \\ =1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)+2\left(1-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{24n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\right)-3= \\ \\ \\ =\frac{7}{12n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

    A questo punto disponiamo di tutte le informazioni necessarie a costruire le seguenti stime asintotiche per n\to+\infty:

    \\ \sin^4\left(\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{n^4} \\ \\ \\ e^{\frac{1}{n^4}}+2\cos\left(\frac{1}{n}\right)-3\sim\frac{7}{12n^4}

    mediante le quali il limite

    \lim_{n\to+\infty}\frac{n!\sin^4\left(\frac{1}{n}\right)+2n^7}{n!\left(e^{\frac{1}{n^2}}+2\cos\left(\frac{1}{n}\right)-3\right)+3n^7}=

    si tramuta in

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{n!\cdot\dfrac{1}{n^4}+2n^7}{n!\cdot\dfrac{7}{12n^4}+3n^7}=

    Mettiamo in evidenza il fattoriale di n sia al numeratore che al denominatore

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{n!\left[\dfrac{1}{n^4}+\dfrac{2n^7}{n!}\right]}{n!\left[\dfrac{7}{12n^4}+\dfrac{3n^7}{n!}\right]}=

    dopo aver semplificato, scriviamo:

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{n^4}+\dfrac{2n^7}{n!}}{\dfrac{7}{12n^4}+\dfrac{3n^7}{n!}}=

    Trascuriamo \frac{2n^7}{n!}\ \mbox{e} \ \frac{3n^7}{n!} perché sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a \frac{1}{n^4} \ \mbox{e} \ \frac{7}{12n^4}, rispettivamente

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{n^4}}{\dfrac{7}{12n^4}}=

    esprimiamo la frazione di frazioni in forma normale e, infine, riportiamo il risultato del limite.

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^4}\cdot\frac{12n^4}{7}=\frac{12}{7}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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