Limite di una successione con fattoriale, esponenziale e seno

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Dovrei calcolare il limite di una successione in cui figurano i fattoriali. Mi pare di comprendere che si debbano utilizzare gli sviluppi asintotici per le successioni, però io non so come procedere.

 

Calcolare il seguente limite di successione

 

lim_(n → +∞)(n!sin^4((1)/(n))+2n^7)/(n!(e^((1)/(n^2))+2cos((1)/(n))-3)+3n^7)

 

Grazie.

Domanda di peppe30

 
Soluzioni

  • Per calcolare il limite di successione

    lim_(n → +∞)(n!sin^4((1)/(n))+2n^7)/(n!(e^((1)/(n^2))+2cos((1)/(n))-3)+3n^7)

    occorre rifarsi alla teoria delle successioni asintotiche e a quella relativa agli sviluppi di Taylor per le successioni. Più precisamente useremo:

    - lo sviluppo del seno

    sin(a_n) = a_n+o(a_n)

    valido a patto che il suo argomento sia infinitesimo, ossia a_n → 0 per n → +∞;

    - lo sviluppo dell'esponenziale

    e^(a_n) = 1+a_n+(a_n^2)/(2)+(a_n^3)/(6)+(a_n^4)/(24)+o(a_n^4)

    valido fintantoché la successione all'esponente è infinitesima: a_n → 0 per n → +∞;

    - lo sviluppo del coseno

    cos(a_n) = 1-(a_n^2)/(2)+(a_n^4)/(24)+o(a_n^4)

    che vale nel momento in cui l'argomento è infinitesimo: a_n → 0 per n → +∞.

    Dopo aver riportato gli sviluppi noti, applichiamoli alle funzioni in gioco

    sin((1)/(n)) = (1)/(n)+o((1)/(n))

    Se eleviamo alla quarta membro a membro ricaviamo

    sin^4((1)/(n)) = [(1)/(n)+o((1)/(n))]^4 =

    Sviluppiamo la potenza quarta aiutandoci con il triangolo di Tartaglia, se fosse necessario

    = (1)/(n^4)+(4)/(n^3)·o((1)/(n))+(6)/(n^2)·[o((1)/(n))]^2+;+(4)/(n)[o((1)/(n))]^3+[o((1)/(n))]^4 =

    dopodiché usiamo le proprietà degli o-piccolo con cui l'espressione diventa

    = (1)/(n^4)+o((1)/(n^4))+o((1)/(n^6))+o((1)/(n^4))+o((1)/(n^4)) = (1)/(n^4)+o((1)/(n^4))

    pertanto

    sin^4((1)/(n)) = (1)/(n^4)+o((1)/(n^4))

    Per quanto concerne il termine esponenziale, il suo sviluppo è:

    e^((1)/(n^2)) = 1+(1)/(n^2)+(1)/(2n^4)+o((1)/(n^4))

    mentre quello del coseno risulta

    cos((1)/(n)) = 1-(1)/(2n^2)+(1)/(24n^4)+o((1)/(n^4))

    pertanto lo sviluppo dell'espressione

    e^((1)/(n^2))+2cos((1)/(n))-3 =

    è

    = 1+(1)/(n^2)+(1)/(2n^4)+o((1)/(n^4))+2(1-(1)/(2n^2)+(1)/(24n^4)+o((1)/(n^4)))-3 = (7)/(12n^4)+o((1)/(n^4))

    A questo punto disponiamo di tutte le informazioni necessarie a costruire le seguenti stime asintotiche per n → +∞:

    sin^4((1)/(n)) ~ (1)/(n^4) ; e^((1)/(n^4))+2cos((1)/(n))-3 ~ (7)/(12n^4)

    mediante le quali il limite

    lim_(n → +∞)(n!sin^4((1)/(n))+2n^7)/(n!(e^((1)/(n^2))+2cos((1)/(n))-3)+3n^7) =

    si tramuta in

    = lim_(n → +∞)(n!·(1)/(n^4)+2n^7)/(n!·(7)/(12n^4)+3n^7) =

    Mettiamo in evidenza il fattoriale di n sia al numeratore che al denominatore

    = lim_(n → +∞)(n![(1)/(n^4)+(2n^7)/(n!)])/(n![(7)/(12n^4)+(3n^7)/(n!)]) =

    dopo aver semplificato, scriviamo:

    = lim_(n → +∞)((1)/(n^4)+(2n^7)/(n!))/((7)/(12n^4)+(3n^7)/(n!)) =

    Trascuriamo (2n^7)/(n!) e (3n^7)/(n!) perché sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a (1)/(n^4) e (7)/(12n^4), rispettivamente

    = lim_(n → +∞)((1)/(n^4))/((7)/(12n^4)) =

    esprimiamo la frazione di frazioni in forma normale e, infine, riportiamo il risultato del limite.

    = lim_(n → +∞)(1)/(n^4)·(12n^4)/(7) = (12)/(7)

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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