Dubbio per un limite con taylor

Ciao, sto svolgendo un po' di limiti con Taylor e mi sono imbattuto in questo:

 

limite per x->0 di [ log^2(1+x) - x^2 ] / [ x √(1+x^2) - x cos2x ]

 

Il mio ragionamento è stato questo: ho considerato lo sviluppo di log(1+x), radice di 1+x e cos x, che dovrebbero essere rispettivamente:

 

log 1+x = x - x^2 / 2 + x^3 / 3

 

essendo nella traccia il log al quadrato ho posto il seguente sviluppo:

x^2 + x^4 / 4 + x^6 / 9

 

Poi radice di 1+x^2 = 1 + x^2 / 2 - x^4 / 8

 

Infine cos2x = 1-x^2+1/12 x^4

Mi sono fermato ad un certo punto dello sviluppo di taylor perchè credo sia inutile andare avanti..

 

Non so se ho fatto errori di calcolo, ma comunque anche se i calcoli sono esatti ho un dubbio sul ragionamento, ovvero:

 

se sostituisco gli sviluppi ho:

x^2 + x^4 / 4 -x^2 tutto fratto x(1+x^2/2)- x (1-x^2)

 

Mi sono fermata a x^2 anche se sopra c'è x^4 perchè poi se dopo moltiplico per x il restante sviluppo mi viene una potenza troppo grande...il risultato è -2/5 però io non mi trovo.

 

Potreste dirmi se i calcoli sono esatti e quale è il ragionamento? Grazie.