Base di un sottospazio con una equazione cartesiana

Come faccio a sapere la dimensione di un sottospazio di R^4 definito da una sola equazione cartesiana e a trovarne una base, dato che la dimensione può essere minore o uguale a 4? Un esercizio mi chiede: "nello spazio vettoriale R4 si consideri il sottospazio W = { (x,y,z,t) : x+y+t=0 }. Calcolare la dimensione e una base.

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di Giulialg88

Soluzioni

  • Ciao Giulialg88, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Consideriamo il sottospazio vettoriale

    W=\{(x,y,z,t): x+y+t=0\}

    che è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4, quindi può avere al massimo dimensione 4.

    Gli elementi dello spazio sono vettori (x,y,z,t) tali da soddisfare l'equazione x+y+t=0.

    Osserviamo che l'equazione è verificata per qualsiasi valore di z, quindi asseginamo a z un parametro reale a libero.

    z=a\in\mathbb{R}

    Abbiamo altre tre variabili e una sola equazione, quindi ci sono 3-1=2 variabili libere. Ad esempio, assegniamo alle variabili y,t rispettivamente dei parametri reali b,c\in\mathbb{R} liberi

    y=b\in\mathbb{R}

    t=c\in\mathbb{R}

    questo ci permette di determinare la variabile "vincolata" dall'equazione in termini dei parametri

    x=-b-c

    Dunque un generico elemento di W si può scrivere nella forma

    (-b-c,b,a,c)

    ossia, scritto in forma di combinazione lineare con coefficienti i parametri

    (-b-c,b,a,c)=b(-1,1,0,0)+c(-1,0,0,1)+a(0,0,1,0)

    e quindi abbiamo trovato 3 vettori che sono evidentemente linearmente indipendenti (nessuno dei tre può essere scritto come combinazione lineare degli altri due) e che generano il sottospazio W, di più non possiamo trovarne.

    Si conclude che W ha dimensione 3 e che una sua base è data da

    \{(-1,1,0,0),(-1,0,0,1),(0,0,1,0)\}

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • non mi trovo perchè (-1,0,1,0) e (0,0,0,1) non soddisfano l equazione(x,y,z,t)= x+y+t=0 infatti

    -1+0+0=-1 e 0+0+1=1 quindi appartengono a W

    Risposta di Giulialg88

  • Per forza, ho fatto confusione nel riportare il vettore! Correggo subito...

    Risposta di Omega

  • fatto! Wink

    Risposta di Omega

  • perfetto =D grazie

    Risposta di Giulialg88
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