Base di un sottospazio con una equazione cartesiana

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Come faccio a calcolare la dimensione di un sottospazio di \mathbb{R}^4 definito da una sola equazione lineare e omogenea, e a trovarne una base? Vi propongo un esercizio di preparazione all'esame e vi chiedo di mostrarmi come si risolve.

 

Nello spazio vettoriale \mathbb{R}^4 si consideri il sottospazio W così definito:

 

W=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y-z-2t=0\}

 

Calcolare la dimensione e una base di W.

Domanda di Giulialg88

 
Soluzioni

  • La dimensione di un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n definito da una sola equazione cartesiana lineare e omogenea è n-1, e per calcolarne una base si deve:

    - assegnare a n-1 incognite il ruolo di parametro libero;

    - ricavare il valore dell'incognita rimasta in funzione delle altre;

    - scrivere la forma vettoriale di un generico elemento del sottospazio ed esprimerlo sotto forma di combinazione lineare avente come coefficienti i parametri liberi.

    I vettori della combinazione lineare formano una base del sottospazio, e non si deve fare altro.

    Tenendo presente quanto appena detto calcoliamo la dimensione e una base di

    W=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y-z-2t=0\}

    W è un sottospazio di \mathbb{R}^4 definito da una sola equazione cartesiana, per cui

    \mbox{dim}(W)=4-1=3.

    Per trovarne una base assegniamo alle incognite y,z,t il ruolo di parametro libero

    y=a \ \ ; \ \ z=b \ \ ; \ \ t=c \ \ \mbox{ con } a,b,c \in \mathbb{R}

    e ricaviamo il valore di x in funzione di a,b,c dall'equazione del sottospazio

    x-y-z-2t=0 \ \ \to \ \ x=y+z+2t = a+b+2c

    La forma vettoriale di un generico elemento di W è

    (a+b+2c, \ a, \ b, \ c) = a(1,1,0,0) + b(1,0,1,0) + c(2,0,0,1)

    e quindi una base di W è

    \mathcal{B}_W=\{(1,1,0,0), \ (1,0,1,0), \ (2,0,0,1)\}.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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