Soluzioni
  • Ciao Matol, cominciamo!

    f(x)=2^{x-1},\ \ \ g(x)= |\log_2(x)|

    Studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:

    \log_2(x)\ge0

    è una semplicissima disequazione logaritmica risolta se e solo se x\ge 1.

    Dunque, per x\in (0, 1), risulta che \log_2(x)<0

    Quindi dobbiamo distinguere due possibili casi sul segno dell'argomento del modulo:

    - se x\in (0, 1) allora g(x)= -\log_2(x)

    - se invece x\in [1, +\infty) allora g(x)= \log_2(x)

    Ora possiamo scrivere l'espressione della funzione composta sui rispettivi intervalli

    (f\circ g)(x)= f(g(x))=\begin{cases}2^{-\log_2(x)-1} &\mbox{se } x\in (0, 1)\\2^{\log_2(x)-1}&\mbox{se } x\in[1, +\infty)\end{cases}

    Possiamo riscrivere le espressioni dei due rami della composizione in una forma più semplice, usando un'opportuna proprietà dei logaritmi.

    Vediamo come

    2^{-\log_2(x)-1}= 2^{-\log_2(x)}\cdot 2^{-1}=\frac{1}{2^{\log_2(x)}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2x}

    Ho utilizzato la proprietà delle potenze, inoltre ho invertito quando avevo esponente negativo e poi ho sfruttato la relazione fondamentale tra logaritmi ed esponenziali.

    Similmente per l'altra:

    2^{\log_2(x)-1}= 2^{\log_2(x)}\cdot 2^{-1}=2^{\log_2(x)}\cdot \frac{1}{2}=x\cdot \frac{1}{2}= \frac{x}{2}

    Quindi, in conclusione

    (f\circ g)(x)= f(g(x))=\begin{cases}\frac{1}{2x} &\mbox{se } x\in (0, 1)\\\frac{x}{2}&\mbox{se } x\in[1, +\infty)\end{cases}

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi