Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale definito del modulo del coseno  tra due estremi qualsiasi basta esplicitare il valore assoluto del coseno di x (usando la definizione di valore assoluto) e usare opportunamente le proprietà degli integrali.

    Tra un attimo vedremo come fare, ma intanto anticipiamo che l'integrale definito tra 0 e 2 Pi Greco del modulo del coseno di x è uguale a 4.

    ∫_(0)^(2 π) |cos(x)| dx = 4

    Calcolo dell'integrale definito del modulo del coseno

    Consideriamo una qualsiasi funzione f(x) e il suo modulo |f(x)|. Per definizione di valore assoluto (o modulo):

    |f(x)| = f(x) se f(x) ≥ 0 ;-f(x) se f(x) < 0

    Concentriamoci ora sulla funzione coseno e ricordiamo che nell'intervallo [0, 2π] la funzione f(x) = cos(x) è:

    • non negativa in [0, (π)/(2)] U [(3)/(2)π, 2π]

    • negativa in ((π)/(2), (3)/(2)π)

    Dalla definizione di valore assoluto segue che:

    |cos(x)| = cos(x) se x ∈ [0, (π)/(2)] U [(3)/(2)π, 2π] ;-cos(x) se x ∈ ((π)/(2), (3)/(2)π)

    La proprietà di additività dell'integrale definito rispetto agli estremi di integrazione

    ∫_(a)^(b) f(x) dx = ∫_(a)^(c) f(x) dx+∫_(c)^(b) f(x) dx con c ∈ [a,b]

    ci permette di riscrivere l'integrale definito tra 0 e 2π del modulo del coseno come somma di tre integrali definiti

    ∫_(0)^(2 π) |cos(x)| dx = ∫_(0)^((π)/(2)) cos(x) dx+∫_((π)/(2))^((3)/(2)π)-cos(x) dx+∫_((3)/(2)π)^(2π) cos(x) dx

    Risolviamo questi tre integrali separatamente sfruttando il teorema fondamentale del calcolo integrale, secondo cui

    ∫_(a)^(b) f(x) dx = G(b)-G(a)

    dove G(x) è una primitiva della funzione f(x) su [a,b].

    • ∫_(0)^((π)/(2)) cos(x) dx

    Gli estremi di integrazione sono

    a = 0 ; b = (π)/(2)

    e una primitiva di cos(x) è G(x) = sin(x), per cui

    ∫_(0)^((π)/(2)) cos(x) dx = sin((π)/(2))-sin(0) =

    il seno di pi/2 è uguale a 1, mentre il seno di 0 è 0

    = 1-0 = 1

    Passiamo al successivo

    • ∫_((π)/(2))^((3)/(2)π)-cos(x) dx =

    portiamo il segno meno fuori dall'integrale

    = -∫_((π)/(2))^((3)/(2)π) cos(x) dx =

    e usiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale

    = -(sin((3)/(2)π)-sin((π)/(2))) =

    ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche

    = -(-1-1) = 2

    Infine

    • ∫_((3)/(2)π)^(2π) cos(x) dx = sin(2π)-sin((3)/(2)π) = 0-(-1) = 1

    In definitiva

     ∫_(0)^(2 π) |cos(x)| dx = ∫_(0)^((π)/(2)) cos(x) dx+∫_((π)/(2))^((3)/(2)π)-cos(x) dx+∫_((3)/(2)π)^(2π) cos(x) dx = 1+2+1 = 4

    ***

    È tutto, ma per concludere ti consigliamo di:

    - leggere la nostra lezione sugli integrali definiti;

    - avere sempre presente quali sono gli integrali notevoli;

    - usare il tool per il calcolo degli integrali definiti online per verificare i risultati degli esercizi ed essere sicuro di non aver commesso errori. ;)

    Risposta di Galois
 
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