Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale definito del modulo del coseno  tra due estremi qualsiasi basta esplicitare il valore assoluto del coseno di x (usando la definizione di valore assoluto) e usare opportunamente le proprietà degli integrali.

    Tra un attimo vedremo come fare, ma intanto anticipiamo che l'integrale definito tra 0 e 2 Pi Greco del modulo del coseno di x è uguale a 4.

    \int_{0}^{2 \pi} |\cos(x)| dx = 4

    Calcolo dell'integrale definito del modulo del coseno

    Consideriamo una qualsiasi funzione f(x) e il suo modulo |f(x)|. Per definizione di valore assoluto (o modulo):

    |f(x)|=\begin{cases}f(x) & \mbox{se } f(x) \ge 0 \\ \\ -f(x) & \mbox{se } f(x) < 0\end{cases}

    Concentriamoci ora sulla funzione coseno e ricordiamo che nell'intervallo [0, 2\pi] la funzione f(x)=\cos(x) è:

    • non negativa in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}\pi, 2\pi\right]

    • negativa in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right)

    Dalla definizione di valore assoluto segue che:

    |\cos(x)|=\begin{cases}\cos(x) & \mbox{se } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3}{2}\pi, 2\pi\right] \\ \\ -\cos(x) & \mbox{se } x \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi\right)\end{cases}

    La proprietà di additività dell'integrale definito rispetto agli estremi di integrazione

    \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx \ \ \mbox{ con } c \in [a,b]

    ci permette di riscrivere l'integrale definito tra 0 e 2π del modulo del coseno come somma di tre integrali definiti

    \int_{0}^{2 \pi} |\cos(x)| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} -\cos(x) dx + \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \cos(x) dx

    Risolviamo questi tre integrali separatamente sfruttando il teorema fondamentale del calcolo integrale, secondo cui

    \int_{a}^{b} f(x) dx = G(b)-G(a)

    dove G(x) è una primitiva della funzione f(x) su [a,b].

    \bullet \ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) dx

    Gli estremi di integrazione sono

    a=0 \ \ ; \ \ b=\frac{\pi}{2}

    e una primitiva di cos(x) è G(x)=\sin(x), per cui

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) dx=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=

    il seno di pi/2 è uguale a 1, mentre il seno di 0 è 0

    =1-0=1

    Passiamo al successivo

    \bullet \ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} -\cos(x) dx =

    portiamo il segno meno fuori dall'integrale

    =-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} \cos(x) dx =

    e usiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale

    =-\left(\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=

    ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche

    =-\left(-1-1\right) = 2

    Infine

    \bullet \ \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \cos(x) dx = \sin\left(2\pi\right)-\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 0-(-1) = 1

    In definitiva

    \\ \int_{0}^{2 \pi} |\cos(x)| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} -\cos(x) dx + \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} \cos(x) dx = \\ \\ \\ = 1+2+1 = 4

    ***

    È tutto, ma per concludere ti consigliamo di:

    - leggere la nostra lezione sugli integrali definiti;

    - avere sempre presente quali sono gli integrali notevoli;

    - usare il tool per il calcolo degli integrali definiti online per verificare i risultati degli esercizi ed essere sicuro di non aver commesso errori. ;)

    Risposta di Galois
 
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