Rette parallele o perpendicolari condotte per un punto

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C'è un esercizio in cui bisogna trovare rette parallele e perpendicolari passanti per dei punti assegnati, non sapendolo risolvere avrei bisogno di voi!

 

Sono assegnati i punti A = (-1,1) e B = (2,-2) e la retta r di equazione 4y+3x-12 = 0. Determina:

 

a) L'equazione della retta s passante per il punto A e perpendicolare alla retta r;

b) l'equazione della retta t parallela alla retta r e passante per B;

c) l'area del triangolo BCA, essendo C il punto in cui la retta r taglia l'asse y;

d) il baricentro del triangolo BCA.

 

Grazie mille, scusate per il disturbo!

Domanda di Panzerotta

 
Soluzioni

  • Ciao Panzerotta, vediamo come procedere.

    Abbiamo la retta r di equazione:

    r: 4y+3x-12 = 0

    Andiamo alla ricerca della retta s perpendicolare a r passante per A(-1, 1).

    La retta s sarà della forma:

    y-1 = m_s (x+1)

    La condizione di perpendicolarità ci dice che due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

    Il coefficiente angolare della retta r è:

    m_r = -(3)/(4)

    Per la condizione di perpendicolarità abbiamo:

    m_s m_r = -1 ⇒ m_s = -(1)/(m_r) = (4)/(3)

    La retta s avrà equazione:

    s: y-1 = (4)/(3)(x+1) ⇒ 3y-3 = 4x+4 ⇒-4x+3y-7 = 0

     

    Adesso andiamo alla ricerca della equazione della retta t parallela a r e passante per b:

    Innanzitutto la retta t ha equazione:

    y+2 = m_t (x-2)

    Per la condizione di parallelismo tra rette, dobbiamo pretendere che m_t = m_r

    Dunque:

    y+2 = -(3)/(4)(x-2)

    4y+8 = -3x+6

    4y+3x+2 = 0

    è la retta cercata!

     

    Ok, troviamo il punto C, che è il punto di intersezione tra la retta r e l'asse delle ordinate:

    In pratica dobbiamo imporre che x=0 nella retta r e trovare il risultato

    4y-12 = 0 ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3

    C quindi avrà coordinate C(0,3)

    Troviamo inoltre la retta passante per i punti A e B utilizzando la formula della retta passante per due punti

    (y-1)/(-2-1) = (x+1)/(2+1)

    (y-1)/(-3) = (x+1)/(3)

    -(y-1) = x+1

    q:-x-y = 0

    Questa è la retta passante per i punti A e B

    Calcoliamo la distanza tra i punti A e B, rappresenterà la lunghezza della base del triangolo:

    b = AB = √((2+1)^2+(-2-1)^2) = √(3^2+3^2) = 3√(2)

    Calcoliamo inoltre la distanza tra la retta q e il punto C, rappresenterà la lunghezza dell'altezza del triangolo:

    h = (|-0-3|)/(√((-1)^2+(-1)^2)) = (3)/(√(2))

     

    Abbiamo la base, abbiamo l'altezza, possiamo calcolare l'area del triangolo:

    A = (b×h)/(2) = (3√(2)× frac 3√(2))/(2) = (9)/(2)

     

    Le coordinate del baricentro si trovano calcolando la media aritmetica delle ascisse e delle ordinate dei punti

    Bar(x_(bar), y_(bar)) = ((x_A+x_B+x_C)/(3), (y_A+y_B+y_C)/(3)) =

    = ((-1+2+0)/(3), (1-2+3)/(3)) = ((1)/(3), (2)/(3)).

    Risposta di Ifrit

  • Grazie mille! :)

    Risposta di Panzerotta
 
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