Fascio di parabole, esercizio su punti base e luogo dei vertici

Vorrei capire come risolvere gli esercizi sul fascio di parabole. Scrivo il testo dell'esercizio di esempio e vi chiedo la cortesia di spiegarmi come svolgerlo.

Dato il fascio di parabole di equazione y = x^2+(m+2)x+m determinare: 

1) i punti base del fascio.

2) l'equazione del luogo γ dei vertici delle parabole del fascio e verificare che tale luogo è una parabola passante per il punto base A trovato.

3) l'equazione della parabola γ1 del fascio avente il vertice in A. Come sono, rispetto ad A, γ, γ1?

4) la relazione che deve sussistere tra i valori del parametro m affinché due parabole del fascio siano simmetriche rispetto alla verticale passante per A.

Grazie mille!

Domanda di Klelia
Soluzione

Ancora prima di cominciare, ti consiglio di dare uno sguardo al nostro formulario sulla parabola.

Punto 1

Per trovare il punto base del fascio dobbiamo riscriverlo in modo da mettere in evidenza le parabole generatrici, ossia esprimerlo nella forma generale

y−ax^2−bx−c+m (y−a_(1)x^2−b_1 x−c_1) = 0

Da qui si vede che le parabole

y−a x^2−bx−c = 0 ; y−a_(1)x^2−b_1 x−c_1 = 0

rappresentano i generatori del fascio. 

Quindi ricaviamo le parabole generatrici del fascio di parabole proposto. Partiamo dalla generica equazione della parabola:

y = x^2+(m+2)x+m

espandiamo i conti

y = x^2+mx+2x+m

da cui, portando tutto al primo membro

y−x^2−mx−2x−m = 0

Raccogliamo ove possibile rispetto ad m

y−x^2−2x+m(−x−1) = 0

I generatori del fascio di parabole sono dunque:

y−x^2−2x = 0 ; −x−1 = 0 ⇔ x+1 = 0

Quest'ultima rappresenta una retta parallela all'asse y.

Mettiamo a sistema le equazioni dei generatori in modo da trovare i punti base del fascio di parabole:

y−x^2−2x = 0 ; x+1 = 0

La/le soluzioni rappresenteranno i punti base del fascio.

Per procedere alla risoluzione del sistema possiamo usare il metodo di sostituzione (per intenderci quello che si studia nel contesto dei sistemi lineari, anche se il sistema in questione non è lineare).

Dalla seconda equazione si ottiene facilmente che x = −1, e sostituendo nella prima avremo:

y = −1 ; x = −1

Il punto base del fascio è A(−1,−1) ed il primo punto dell'esercizio è concluso.

Punto 2

Al fine di trovare il luogo geometrico dei vertici del fascio di parabole, ricorda che le coordinate del vertice di una parabola sono:

V_(m)(−(b)/(2a),−(Δ)/(4a))

dove:

a è il coefficiente di x^2, nel nostro caso a = 1;

b è il coefficiente di x, nel nostro caso b = m+2;

c è il termine noto, c = m;

mentre Δ è il discriminante associato, nel nostro caso

Δ = b^2−4ac = (m+2)^2−4m = m^2+4.

Non dobbiamo fare altro che considerare l'equazione del fascio di parabole

y = x^2+(m+2)x+m

e applicare le formule per le coordinate del generico vertice: le coordinate del vertice al variare di m sono

V_(m)(−(m+2)/(2),−(m^2+4)/(4))

L'ascissa del vertice è dunque x_(V) = −(m+2)/(2), mentre la sua ordinata è y_(V) = −(m^2+4)/(4)

Il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano di cui andiamo alla ricerca è tale che:

x = x_V = −(m+2)/(2) ; y = −(m^2+4)/(4)

Mettiamo a sistema queste due equazioni:

x = −(m+2)/(2) ; y = −(m^2+4)/(4)

Dalla prima equazione si ha che:

m = −2x−2

Sostituiamo nella seconda equazione così da ottenere l'equazione del luogo:

γ: y = −((−2x−2)^2+4)/(4) ⇒ y = −x^2−2x−2

Dall'equazione che abbiamo ricavato si capisce facilmente che il luogo geometrico dei vertici è una parabola e passa per il punto A(−1,−1), infatti tale punto soddisfa la condizione di appartenza.

Punto 3

Dobbiamo trovare l'equazione γ_1 del fascio che ha vertice nel punto A(-1,-1). Basterà imporre:

x_(V) = −1 ; y_(V) = −1

A tal proposito impostiamo il sistema

−(m+2)/(2) = −1 ;−(m^2+4)/(4) = −1 ⇒ m = 0

Sostituiamo m nell'equazione del fascio così da ottenere l'equazione γ_1:

γ_1: y = x^2+(0+2)x+0 ⇒ y = x^2+2x

Le parabole γ e γ_1 sono simmetriche rispetto al punto (−1,−1). 

Punto 4

Affinché le due parabole del fascio siano simmetriche rispetto alla verticale passante per A, dobbiamo richiedere che esse abbiano lo stesso asse di simmetria.

Il fascio ha asse di simmetria di equazione:

x = −(b)/(2a) = −(m+2)/(2)

L'asse di simmetria della parabola γ è di equazione:

x = −(b)/(2a) = −1

Dunque per portare a termine l'esercizio dobbiamo richiedere che:

−(m+2)/(2) = −1 ⇔ m = 0.

Finalmente abbiamo finito! Nel caso tornasse utile, ti lascio il link per il tool che permette di risolvere la parabola online. ;)

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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