Soluzioni
  • Prima di calcolare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

    (4x^4-x^2+4x-4):(-2x^2+x-2)

    osserviamo che il dividendo e il divisore sono polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di x. Purtroppo il dividendo manca del termine in x^3, per cui scriveremo uno zero segnaposto.

    4x^4-x^2+4x-4=4x^4+0\cdot x^3-x^2+4x-4

    Costruiamo la tabella della divisione

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4& +0x^3& -x^2& +4x& -4& -2x^2& +x& -2\\ \cline{6-8}& & & & & & & \end{array}

    e dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore: equivale a svolgere la divisione tra i monomi 4x^4\ \mbox{e} \ -2x^2

    4x^{4}:\left(-2x^2\right)=-2x^{4-2}=-2x^{2}

    Il risultato va riportato sotto il divisore e rappresenta il primo quoziente parziale.

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4& +0x^3& -x^2& +4x& -4& -2x^2& +x& -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2& & \end{array}

    Moltiplichiamo -2x^2 per il polinomio divisore

    -2x^2\cdot (-2x^2+x-2)=4x^4-2x^3+4x^2

    e, dopo aver cambiato di segno ciascun termine, incolonniamo il prodotto sotto il dividendo

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & & \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} & & & & & & & \end{array}

    Sommiamo il polinomio ottenuto con il dividendo, riportando il risultato sotto la linea di separazione: esso rappresenta il primo resto parziale.

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & & \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} // & +2x^3 & -5x^2 & +4x & -4 & & & \end{array}

    Poiché il grado del polinomio resto è maggiore di quello del divisore, siamo costretti a continuare con l'algoritmo. Dividiamo il primo termine del resto per il primo termine del divisore

    +2x^3:\left(-2x^2\right)=-x

    e affianchiamo il risultato al quoziente

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & -x & \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} // & +2x^3 & -5x^2 & +4x & -4 & & & \end{array}

    Moltiplichiamo -x per il divisore

    (-x)\cdot(-2x^2+x-2)=2x^3-x^2+2x

    e, una volta cambiati i segni dei termini, incolonniamo il prodotto sotto il resto parziale

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & -x & \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} // & +2x^3 & -5x^2 & +4x & -4 & & & \\ & & & & & & & \\ & -2x^3 & +x^2 & -2x & & & & \\ \cline{2-5}&&&&&&&\end{array}

    Addizioniamo termine a termine e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & -x & \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} // & +2x^3 & -5x^2 & +4x & -4 & & & \\ & & & & & & & \\ & -2x^3 & +x^2 & -2x & & & & \\ \cline{2-5}&-4x^2&+2x&-4&&&&\end{array}

    Il resto parziale -4x^2+2x-4 ha grado 2 e coincide con quello del divisore: ciò significa che dobbiamo continuare con l'algoritmo.

    Consideriamo il primo termine del resto parziale e dividiamolo per il primo termine del divisore

    (-4x^2):\left(-2x^2\right)=+2x^{2-2}=+2

    e affianchiamo il risultato al quoziente parziale

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & -x & +2 \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} // & +2x^3 & -5x^2 & +4x & -4 & & & \\ & & & & & & & \\ & -2x^3 & +x^2 & -2x & & & & \\ \cline{2-5}& // & -4x^2 & +2x & -4 & & & \end{array}

    Esattamente come abbiamo già fatto in precedenza, moltiplichiamo 2 per il polinomio divisore

    2\cdot\left(-2x^2+x-2\right)=-4x^2+2x-4

    e, dopo aver cambiato i segni del prodotto, incolonniamolo con il resto parziale

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & -x & +2 \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} // & +2x^3 & -5x^2 & +4x & -4 & & & \\ & & & & & & & \\ & -2x^3 & +x^2 & -2x & & & & \\ \cline{2-5} & // & -4x^2 & +2x& -4& & & \\ & & & & & & & \\ & & +4x^2 & -2x & +4 & & &  \\ \cline{3-5} & & & & & & & \end{array}

    Infine, sommiamo tra loro i termini e riportiamo il resto

    \begin{array}{ccccc|ccc}4x^4 & +0x^3 & -x^2 & +4x & -4 & -2x^2 & +x & -2\\ \cline{6-8}& & & & & -2x^2 & -x & +2 \\ -4x^4 & +2x^3& -4x^2 & & & & & \\ \cline{1-5} // & +2x^3 & -5x^2 & +4x & -4 & & & \\ & & & & & & & \\ & -2x^3 & +x^2 & -2x & & & & \\ \cline{2-5} & // & -4x^2 & +2x& -4& & & \\ & & & & & & & \\ & & +4x^2 & -2x & +4 & & &  \\ \cline{3-5} & & //&// &// & & & \end{array}

    Finalmente l'algoritmo della divisione è giunto al termine: occorre solamente scrivere per bene i risultati!

    Il quoziente e il resto della divisione sono rispettivamente

    Q(x)=-2x^2-x+2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ R(x)=0

    Osservazione. Dalla nullità del resto, comprendiamo che il polinomio dividendo è un multiplo del polinomio divisore, infatti:

    4x^4-x^2+4x-4=(-2x^2+x-2)(-2x^2-x+2)

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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