Soluzioni
  • Quale che sia il metodo con cui si sceglie di calcolare l'inversa di una matrice, la prima cosa da fare è verificare che sia invertibile, cioè che abbia determinante diverso da zero.

    A=\begin{pmatrix}-1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&-3&1\end{pmatrix}

    è una matrice quadrata di ordine 3 la cui prima riga ha due elementi nulli, quindi conviene calcolarne il determinante con uno sviluppo di Laplace rispetto ad essa

    \mbox{det}(A)= a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \mbox{det}(A_{11})=

    Sostituiamo a_{11}=-1 e A_{11} con la matrice che si ottiene da A eliminandone la prima riga e la prima colonna

    =-1 \cdot (-1)^2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&0 \\ -3&1\end{pmatrix}=

    Il determinante di una matrice 2x2 è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi dell'antidiagonale

    =-1 \cdot [1 \cdot 1 - 0 \cdot (-3)] = -1 \cdot (1-0) = -1

    Essendo

    \mbox{det}(A)=-1 \neq 0

    la matrice A è invertibile e possiamo calcolarne l'inversa con il metodo di Gauss-Jordan.

    Inversa di A con Gauss

    Per determinare l'inversa di una matrice A \in Mat(3,3,\mathbb{R}) con Gauss occorre:

    - affiancare ad A la matrice identità di ordine 3: \left(A \ | \ \mbox{Id}_3\right).

    - Ridurre \left(A \ | \ \mbox{Id}_3\right) in una matrice a scala con il metodo di eliminazione di Gauss.

    - Annullare gli elementi sopra i pivot della matrice ridotta.

    - Rendere uguali a 1 i pivot della matrice risultante moltiplicando ogni riga per un opportuno scalare.

    Si giunge così a una matrice della forma \left(\mbox{Id}_3 \ | \ E\right), in cui E è l'inversa di A.

    Riprendiamo la matrice

    A=\begin{pmatrix}-1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&-3&1\end{pmatrix}

    e seguiamo la precedente scaletta.

    Accostiamo \mbox{Id}_3 alla destra di A

    \left(A \ | \ \mbox{Id}_3 \right)= \begin{pmatrix}-1&0&0&|&1&0&0 \\ 1&1&0&|&0&1&0 \\ 0&-3&1&|&0&0&1\end{pmatrix}

    e riduciamo \left(A \ | \ \mbox{Id}_3 \right) in una matrice a gradini.

    Sostituiamo la seconda riga R_2 con la somma tra prima e seconda riga

    \\ R_2 \ \to \ R_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-1&0&0&|&1&0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&1&0&|&0&1&0\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&1&0&|&1&1&0\end{pmatrix}

    pervenendo alla matrice

    \left(A \ | \ \mbox{Id}_3 \right)'= \begin{pmatrix}-1&0&0&|&1&0&0 \\ 0&1&0&|&1&1&0 \\ 0&-3&1&|&0&0&1\end{pmatrix}

    Concludiamo la riduzione a scala rimpiazzando la terza riga di \left(A \ | \ \mbox{Id}_3 \right)' con

    \\ R_3 \ \to \ 3R_2+R_3 = \\ \\ = 3\begin{pmatrix}0&1&0&|&1&1&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&-3&1&|&0&0&1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&3&0&|&3&3&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&-3&1&|&0&0&1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&1&|&3&3&1\end{pmatrix}

    La matrice ridotta a gradini è

    \left(A \ | \ \mbox{Id}_3 \right)''= \begin{pmatrix}-1&0&0&|&1&0&0 \\ 0&1&0&|&1&1&0 \\ 0&0&1&|&3&3&1\end{pmatrix}

    che ha come pivot

    a_{11}=-1 \ \ ; \ \ a_{22}=1 \ \ ; \ \ a_{33}=1

    Il passo successivo dell'algoritmo di Gauss-Jordan prevede di annullare gli elementi sopra i pivot della matrice ridotta, ma sono già nulli.

    Per concludere è allora sufficiente rendere i suddetti pivot uguali a 1. L'unico diverso da 1 è a_{11}=-1, dunque moltiplichiamo la prima riga di \left(A \ | \ \mbox{Id}_3 \right)'' per -1 e scriviamo la matrice risultante

    \left(\mbox{Id}_3 \ | \ E \right)=\begin{pmatrix}1&0&0&|&-1&0&0 \\ 0&1&0&|&1&1&0 \\ 0&0&1&|&3&3&1\end{pmatrix}

    L'inversa di A è

    A^{-1}=E=\begin{pmatrix}-1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 3&3&1\end{pmatrix}

    e l'esercizio può dirsi concluso.

    Risposta di Galois
 
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