Inversa di una matrice 3x3 con Gauss

Question

È la prima volta che incappo in un esercizio che chiede di calcolare l'inversa di una matrice con Gauss. Solitamente uso il metodo dei cofattori, ma questa volta non posso farlo. Calcolare l'inversa della matrice A usando il metodo di Gauss A = [-1 0 0 ; 1 1 0 ; 0 -3 1]

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Quale che sia il metodo con cui si sceglie di calcolare l'inversa di una matrice, la prima cosa da fare è verificare che sia invertibile, cioè che abbia determinante diverso da zero. A = [-1 0 0 ; 1 1 0 ; 0 -3 1] è una matrice quadrata di ordine 3 la cui prima riga ha due elementi nulli, quindi conviene calcolarne il determinante con uno sviluppo di Laplace rispetto ad essa det(A) = a_(11)·(-1)^(1+1)·det(A_(11)) = Sostituiamo a_(11) = -1 e A_(11) con la matrice che si ottiene da A eliminandone la prima riga e la prima colonna = -1·(-1)^2·det[1 0 ;-3 1] = Il determinante di una matrice 2x2 è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi dell'antidiagonale = -1·[1·1-0·(-3)] = -1·(1-0) = -1 Essendo det(A) = -1 ≠ 0 la matrice A è invertibile e possiamo calcolarne l'inversa con il metodo di Gauss-Jordan. Inversa di A con Gauss Per determinare l'inversa di una matrice A ∈ Mat(3,3,R) con Gauss occorre:-affiancare ad A la matrice identità di ordine 3: (A | Id_3).-Ridurre (A | Id_3) in una matrice a scala con il metodo di eliminazione di Gauss.-Annullare gli elementi sopra i pivot della matrice ridotta.-Rendere uguali a 1 i pivot della matrice risultante moltiplicando ogni riga per un opportuno scalare. Si giunge così a una matrice della forma (Id_3 | E), in cui E è l'inversa di A. Riprendiamo la matrice A = [-1 0 0 ; 1 1 0 ; 0 -3 1] e seguiamo la precedente scaletta. Accostiamo Id_3 alla destra di A (A | Id_3) = [-1 0 0 | 1 0 0 ; 1 1 0 | 0 1 0 ; 0 -3 1 | 0 0 1] e riduciamo (A | Id_3) in una matrice a gradini. Sostituiamo la seconda riga R_2 con la somma tra prima e seconda riga ; R_2 → R_1+R_2 = [-1 0 0 | 1 0 0]+[1 1 0 | 0 1 0] = [0 1 0 | 1 1 0] pervenendo alla matrice (A | Id_3)' = [-1 0 0 | 1 0 0 ; 0 1 0 | 1 1 0 ; 0 -3 1 | 0 0 1] Concludiamo la riduzione a scala rimpiazzando la terza riga di (A | Id_3)' con ; R_3 → 3R_2+R_3 = 3[0 1 0 | 1 1 0]+[0 -3 1 | 0 0 1] = [0 3 0 | 3 3 0]+[0 -3 1 | 0 0 1] = [0 0 1 | 3 3 1] La matrice ridotta a gradini è (A | Id_3)'' = [-1 0 0 | 1 0 0 ; 0 1 0 | 1 1 0 ; 0 0 1 | 3 3 1] che ha come pivot a_(11) = -1 ; a_(22) = 1 ; a_(33) = 1 Il passo successivo dell'algoritmo di Gauss-Jordan prevede di annullare gli elementi sopra i pivot della matrice ridotta, ma sono già nulli. Per concludere è allora sufficiente rendere i suddetti pivot uguali a 1. L'unico diverso da 1 è a_(11) = -1, dunque moltiplichiamo la prima riga di (A | Id_3)'' per-1 e scriviamo la matrice risultante (Id_3 | E) = [1 0 0 | -1 0 0 ; 0 1 0 | 1 1 0 ; 0 0 1 | 3 3 1] L'inversa di A è A^(-1) = E = [-1 0 0 ; 1 1 0 ; 3 3 1] e l'esercizio può dirsi concluso.