Soluzioni
  • Ciao Neumann, non preoccuparti, la domanda è chiara! Wink Arrivo a risponderti....

    Risposta di Omega
  • Partiamo dal presupposto che una base è un sistema di generatori linearmente indipendente. In particolare, un sistema di generatori non varia moltiplicando o dividendo tutti i suoi vettori per uno stesso multiplo scalare; allo stesso modo, non cambia scambiando nell'ordine due o più vettori del sistema stesso e non cambia sostituendo un vettore con una combinazione lineare di altri vettori del sistema.

    L'eliminazione di Gauss permette di riscrivere, attraverso le precedenti operazioni, un'assegnata matrice semplificandone la forma. In che senso? Nel senso che prendendo i vettori del sistema considerato (linearmente dipendenti o indipendenti ancora non lo sappiamo) e disponendoli per colonna, troviamo una matrice. Applicando l'eliminazione gaussiana a questa matrice, i vettori che dipendono linearmente dagli altri vengono annullati mentre i vettori linearmente indipendenti tra loro vengono ridotti all'"osso". 

    I pivot sono gli elementi di riferimento che tengono traccia (se non nulli) dell'indipendenza lineare del vettore con i restanti vettori, anch'essi a pivot non nullo.

    Diciamo che il metodo di Gauss, mediante la precedente serie di operazioni lineari, consiste in una riscrittura equivalente dei vettori della matrice e consente di vedere subito quali vettori sono linearmente indipendenti e quali no.

    Con questa non breve premessa: avendo individuato i vettori tra loro linearmente indipendenti, e tenendo conto del fatto che nel generare lo span del sistema di vettori i vettori linearmente dipendenti non "danno nulla di più", in combinazione lineare, rispetto ai vettori linearmente indipendenti, abbiamo che:

    - i vettori linearmente indipendenti individuati continuano a generare lo spazio generato dai vettori colonna (e grazie tante! Laughing)

    - i vettori linearmente indipendenti sono linearmente indipendenti

    Dunque soddisfano la definizione di base, dunque costituiscono una base dello spazio generato dalle colonne della matrice.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Capisco il fatto che dopo l'eliminazione le colonne sono una base dello spazio dato, ma come garantisce che quelle iniziali nella loro posizione sono anche esse una base? Perchè non è così diretta come affermazione, visto che nell'eliminazione faccio solo operazioni sulle righe...

    Risposta di Neumann
  • Ok, ora mi è chiara la domanda: :) il punto è che l'eliminazione di Gauss porta la matrice in una nuova base, quindi i vettori colonna che determini dopo l'eliminazione sono proprio gli stessi, solo scritti rispetto ad una nuova base. Questa base (ed è questo il bello del metodo) viene individuata automaticamente mediante operazioni standard, quelle stesse operazioni che si mettono in atto nell'eliminazione gaussiana.

    Questo dovrebbe risolvere il problema..

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • E la trasformazione sarebbe una opportuna trasformazione lineare?

    Risposta di Neumann
  • La trasformazione viene effettuata mediante una opportuna matrice, detta appunto "matrice del cambiamento di base"...le hai già studiate nel tuo corso di studi?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Sì, diciamo che ne abbiamo parlato, ma non ho ancora puntualizzato, sarebbero rotazioni e traslazioni?

    Risposta di Neumann
  • E non solo, ma il discorso sarebbe lunghetto da affrontare...

    Nel Forum abbiamo trattato l'argomento (Università - Algebra Lineare) e anche nelle domande e risposte risolte (Uni - Algebra Lineare). Se vuoi un antipasto prima delle lezioni frontali dell'università....

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Bè, ora che ci penso è vero, già non è detto che i vettori di base debbano rimanere ortogonali...

    Risposta di Neumann
  • ...Che sei un ragazzo sveglio, l'ho capito subito! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille!

    Risposta di Neumann
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