Soluzioni
  • Riportiamo uno schema che riassume la teoria necessaria a risolvere il punto (a).

    La posizione reciproca di due piani dello spazio, di equazioni

    \\ \pi_1:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \pi_2:\ a'x+b'y+c'z+d'=0

    è determinata dal numero di soluzioni del sistema lineare

    \begin{cases}ax+by+cz=-d\\ a'x+b'y+c'z=-d'\end{cases}

    Se questo è un sistema impossibile, allora \pi_1,\pi_2 sono piani paralleli e distinti, mentre se ammette \infty^{1} soluzioni, i piani si intersecano in una rette, per cui sono incidenti. Se vi sono \infty^{2} soluzioni, i piani sono invece paralleli e coincidenti.

    Le precedenti considerazioni possono essere riespresse in termini di ranghi delle matrici associate al sistema. Indicate con A e (A|\mathbf{b}) rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema, il teorema di Rouché-Capelli assicura che il sistema lineare:

    - è impossibile se e solo se 1=\mbox{rk}(A)<\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2;

    - ammette \infty^{1} se e solo se \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2;

    - ammette \infty^{2} se e solo se \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=1.

    Dopo questo breve preambolo, occupiamoci del problema: dobbiamo stabilire la posizione reciproca dei piani

    \\ \pi_1:\ x+2y+z-3=0 \\ \\ \pi_2:\ (2-k)x+(3-k)y+(2-k)z-3=0

    al variare del parametro reale k. Consideriamo il sistema lineare composto dalle loro equazioni

    \begin{cases}x+2y+z-3=0 \\ (2-k)x+(3-k)y+(2-k)z-3=0\end{cases}

    costruiamo le matrici associate

    \\ A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 2-k&3-k&2-k\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\ 2-k&3-k&2-k&3\end{array}\right)

    e calcoliamo i loro ranghi al variare del parametro k riducendo a gradini (A|\mathbf{b}) con il metodo di eliminazione di Gauss. Per annullare 2-k, effettuiamo la mossa elementare

    \\ R_2 \ \to \ R_{2}-(2-k)R_1= (2-k,3-k,2-k,3)-(2-k)(1,2,1,3)=\\ \\ =(0,k-1,0,3k-3)

    ricavando così la matrice a gradini associata alla matrice completa

    (A|\mathbf{b})'=\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\ 0&k-1&0&3k-3\end{array}\right)

    e quella associata alla matrice dei coefficienti

    A'=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&k-1&0\end{pmatrix}

    A questo punto basta determinare il numero di pivot di A' e quello di (A|\mathbf{b})' che corrispondono rispettivamente con il rango di A e con il rango di (A|\mathbf{b}).

    Se k-1=0, ossia se k=1, anche l'elemento 3k-3 è nullo, pertanto

    \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=1

    e il sistema lineare ammette \infty^{3-\mbox{rk}(A)}=\infty^{2} soluzioni, ergo \pi_1,\pi_2 sono piani paralleli e coincidenti.

    Se k-1\ne 0, vale a dire se k\ne 1, il rango di A è 2 e coincide con quello di (A|\mathbf{b})

    \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2

    per cui il sistema ammette \infty^{3-\mbox{rk}(A)}=\infty^{1} soluzioni, ergo \pi_1,\pi_2 sono piani incidenti.

    Occupiamoci del punto (b) che chiede di calcolare i valori di k affinché \pi_1,\pi_2 siano piani perpendicolari.

    Ricordiamo che due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono i vettori che individuano le direzioni normali ai piani: vanno benissimo il vettore dei coefficienti direttori del piano \pi_1

    \mathbf{n}_{1}=(a,b,c)=(1,2,1)

    e quello di \pi_2

    \mathbf{n}_{2}=(a',b',c')=(2-k,3-k,2-k)

    Affinché siano perpendicolari dobbiamo richiedere che il loro prodotto scalare sia nullo

    \\ \mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}=0 \ \ \to \ \ (1,2,1)\cdot (2-k,3-k,2-k)=0 \\ \\ 1\cdot (2-k)+2\cdot (3-k)+1\cdot (2-k)=0 \\ \\ 10-4k=0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado nell'incognita k che è soddisfatta per k=\frac{5}{2}.

    Rimpiazzando k=\frac{5}{2} in

    (2-k)x+(3-k)y+(2-k)z-3=0

    otteniamo finalmente l'equazione di \pi_2 che rispetta le condizioni del problema

    \\ \left(2-\frac{5}{2}\right)x+\left(3-\frac{5}{2}\right)y+\left(2-\frac{5}{2}\right)z-3=0 \\ \\ \\ \frac{-x+y-z-6}{2}=0 \ \ \to \ \ x-y+z+6=0

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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