Posizioni di due piani nello spazio

Stavo svolgendo un esercizio sulla posizione reciproca tra piani in cui compare un parametro e nonostante mi sia rifatto alla teoria, non sono riuscito a portarlo a termine. Potreste spiegarmi come procedere, per favore?

Fissato il riferimento ortonormale standard nello spazio tridimensionale, si considerino i piani $\pi_1,\pi_2$ di equazioni cartesiane

$\\ \pi_1:\ x+2y+z-3=0 \\ \\ \pi_2:\ (2-k)x+(3-k)y+(2-k)z-3=0$

(a) Stabilire la posizione reciproca di $\pi_1,\pi_2$ , al variare del parametro reale $k\in\mathbb{R}$ .

(b) Determinare, se esistono, i parametri per i quali $\pi_1,\pi_2$ sono piani ortogonali.

Domanda di jole

Soluzioni

Riportiamo uno schema che riassume la teoria necessaria a risolvere il punto (a).
La posizione reciproca di due piani dello spazio, di equazioni
$\\ \pi_1:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \pi_2:\ a'x+b'y+c'z+d'=0$
è determinata dal numero di soluzioni del sistema lineare
$\begin{cases}ax+by+cz=-d\\ a'x+b'y+c'z=-d'\end{cases}$
Se questo è un sistema impossibile, allora $\pi_1,\pi_2$ sono piani paralleli e distinti, mentre se ammette $\infty^{1}$ soluzioni, i piani si intersecano in una rette, per cui sono incidenti. Se vi sono $\infty^{2}$ soluzioni, i piani sono invece paralleli e coincidenti.
Le precedenti considerazioni possono essere riespresse in termini di ranghi delle matrici associate al sistema. Indicate con e $(A|\mathbf{b})$ rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema, il teorema di Rouché-Capelli assicura che il sistema lineare:
- è impossibile se e solo se $1=\mbox{rk}(A)<\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2$ ;
- ammette $\infty^{1}$ se e solo se $\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2$ ;
- ammette $\infty^{2}$ se e solo se $\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=1$ .
Dopo questo breve preambolo, occupiamoci del problema: dobbiamo stabilire la posizione reciproca dei piani
$\\ \pi_1:\ x+2y+z-3=0 \\ \\ \pi_2:\ (2-k)x+(3-k)y+(2-k)z-3=0$
al variare del parametro reale Consideriamo il sistema lineare composto dalle loro equazioni
$\begin{cases}x+2y+z-3=0 \\ (2-k)x+(3-k)y+(2-k)z-3=0\end{cases}$
costruiamo le matrici associate
$\\ A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 2-k&3-k&2-k\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\ 2-k&3-k&2-k&3\end{array}\right)$
e calcoliamo i loro ranghi al variare del parametro riducendo a gradini $(A|\mathbf{b})$ con il metodo di eliminazione di Gauss. Per annullare , effettuiamo la mossa elementare
$\\ R_2 \ \to \ R_{2}-(2-k)R_1= (2-k,3-k,2-k,3)-(2-k)(1,2,1,3)=\\ \\ =(0,k-1,0,3k-3)$
ricavando così la matrice a gradini associata alla matrice completa
$(A|\mathbf{b})'=\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\ 0&k-1&0&3k-3\end{array}\right)$
e quella associata alla matrice dei coefficienti
$A'=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&k-1&0\end{pmatrix}$
A questo punto basta determinare il numero di pivot di e quello di $(A|\mathbf{b})'$ che corrispondono rispettivamente con il rango di e con il rango di $(A|\mathbf{b})$ .
Se , ossia se , anche l'elemento è nullo, pertanto
$\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=1$
e il sistema lineare ammette $\infty^{3-\mbox{rk}(A)}=\infty^{2}$ soluzioni, ergo $\pi_1,\pi_2$ sono piani paralleli e coincidenti.
Se $k-1\ne 0$ , vale a dire se $k\ne 1$ , il rango di è 2 e coincide con quello di $(A|\mathbf{b})$
$\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2$
per cui il sistema ammette $\infty^{3-\mbox{rk}(A)}=\infty^{1}$ soluzioni, ergo $\pi_1,\pi_2$ sono piani incidenti.
Occupiamoci del punto (b) che chiede di calcolare i valori di affinché $\pi_1,\pi_2$ siano piani perpendicolari.
Ricordiamo che due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono i vettori che individuano le direzioni normali ai piani: vanno benissimo il vettore dei coefficienti direttori del piano $\pi_1$
$\mathbf{n}_{1}=(a,b,c)=(1,2,1)$
e quello di $\pi_2$
$\mathbf{n}_{2}=(a',b',c')=(2-k,3-k,2-k)$
Affinché siano perpendicolari dobbiamo richiedere che il loro prodotto scalare sia nullo
$\\ \mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}=0 \ \ \to \ \ (1,2,1)\cdot (2-k,3-k,2-k)=0 \\ \\ 1\cdot (2-k)+2\cdot (3-k)+1\cdot (2-k)=0 \\ \\ 10-4k=0$
Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado nell'incognita che è soddisfatta per $k=\frac{5}{2}$ .
Rimpiazzando $k=\frac{5}{2}$ in
otteniamo finalmente l'equazione di $\pi_2$ che rispetta le condizioni del problema
$\\ \left(2-\frac{5}{2}\right)x+\left(3-\frac{5}{2}\right)y+\left(2-\frac{5}{2}\right)z-3=0 \\ \\ \\ \frac{-x+y-z-6}{2}=0 \ \ \to \ \ x-y+z+6=0$
Abbiamo finito!
Risposta di Ifrit