Riportiamo uno schema che riassume la teoria necessaria a risolvere il punto (a).
La posizione reciproca di due piani dello spazio, di equazioni
è determinata dal numero di soluzioni del sistema lineare
Se questo è un sistema impossibile, allora
sono piani paralleli e distinti, mentre se ammette
soluzioni, i piani si intersecano in una rette, per cui sono incidenti. Se vi sono
soluzioni, i piani sono invece paralleli e coincidenti.
Le precedenti considerazioni possono essere riespresse in termini di ranghi delle matrici associate al sistema. Indicate con
e
rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema, il teorema di Rouché-Capelli assicura che il sistema lineare:
- è impossibile se e solo se
;
- ammette
se e solo se
;
- ammette
se e solo se
.
Dopo questo breve preambolo, occupiamoci del problema: dobbiamo stabilire la posizione reciproca dei piani
al variare del parametro reale
Consideriamo il sistema lineare composto dalle loro equazioni
costruiamo le matrici associate
e calcoliamo i loro ranghi al variare del parametro
riducendo a gradini
con il metodo di eliminazione di Gauss. Per annullare
, effettuiamo la mossa elementare
ricavando così la matrice a gradini associata alla matrice completa
e quella associata alla matrice dei coefficienti
A questo punto basta determinare il numero di pivot di
e quello di
che corrispondono rispettivamente con il rango di
e con il rango di
.
Se
, ossia se
, anche l'elemento
è nullo, pertanto
e il sistema lineare ammette
soluzioni, ergo
sono piani paralleli e coincidenti.
Se
, vale a dire se
, il rango di
è 2 e coincide con quello di
per cui il sistema ammette
soluzioni, ergo
sono piani incidenti.
Occupiamoci del punto (b) che chiede di calcolare i valori di
affinché
siano piani perpendicolari.
Ricordiamo che due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono i vettori che individuano le direzioni normali ai piani: vanno benissimo il vettore dei coefficienti direttori del piano
e quello di
Affinché siano perpendicolari dobbiamo richiedere che il loro prodotto scalare sia nullo
Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado nell'incognita
che è soddisfatta per
.
Rimpiazzando
in
otteniamo finalmente l'equazione di
che rispetta le condizioni del problema
Abbiamo finito!
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