Limite fratto con parametro e seno

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Devo calcolare un limite parametrico fratto con al numeratore una funzione trigonometrica e non so dove mettere le mani.

 

Determinare al variare del parametro reale k, il seguente limite

 

lim_(x → 0^(+))(2sin(x))/(x^(k))

 

Grazie.

Domanda di rinovanchi

 
Soluzione

  • Il limite parametrico

    lim_(x → 0^(+))(2sin(x))/(x^(k)) = (•)

    può essere calcolato agevolmente se sfruttiamo il limite notevole associato alla funzione seno

    lim_(x → 0)(sin(x))/(x) = 1

    Ciò di cui abbiamo bisogno è una x al denominatore e possiamo farla apparire moltiplicando e dividendo la funzione per x

    (•) = lim_(x → 0^(+))(2sin(x))/(x)·(x)/(x^(k)) =

    Il primo fattore tende a 2 mentre il secondo fattore si esprime nella forma x^(1-k) concordemente con le proprietà delle potenze

    = lim_(x → 0^(+))2x^(1-k)

    Noto l'andamento della funzione potenza nell'intorno destro di 0 deduciamo che il limite:

    - vale 0 se l'esponente è positivo, ossia se 1-k > 0 ⇔ k < 1;

    - vale 2 se l'esponente è nullo, ossia se 1-k = 0 ⇔ k = 1;

    - vale +∞ se l'esponente è negativo, ossia se 1-k < 0 ⇔ k > 1

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
    Ultima modifica:

 
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