Soluzioni
  • Studiamo la posizione reciproca delle rette r,s chiedendoci innanzitutto se sono parallele. Partiamo dalle equazioni parametriche della retta r

    r:\ \begin{cases}x=t\\ y=t \\ z=1-t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    e individuiamone la direzione esibendo il vettore direttore naturale associato alla rappresentazione, composto dai coefficienti di t

    \mathbf{v}_{r}=(1,1,-1)

    Richiede qualche passaggio in più il vettore direttore di s di equazioni cartesiane

    s:\ \begin{cases}x-y=0\\ x+y+2z=2\end{cases}

    Indichiamo con \pi_1, \pi_2 i piani che si intersecano nella retta s

    \\ \pi_1:\ x-y=0 \\ \\ \pi_2:\ x+y+2z=2

    e determiniamo i loro vettori dei coefficienti direttori \mathbf{n}_{\pi_1},\mathbf{n}_{\pi_2}. Più precisamente:

    \mathbf{n}_{\pi_1} è il vettore avente per componenti i coefficienti delle incognite x,y,z della rappresentazione cartesiana del piano \pi_1 e individua la direzione perpendicolare a \pi_1.

    \mathbf{n}_{\pi_1}=(1,-1,0)

    \mathbf{n}_{\pi_2} è il vettore composto dai coefficienti delle incognite x,y,z che figurano nell'equazione cartesiana di \pi_2 e individua la direzione ortogonale a \pi_2.

    \mathbf{n}_{\pi_2}=(1,1,2)

    Se calcoliamo il loro prodotto vettoriale, otterremo un vettore parallelo alla retta s che eleggeremo a vettore direttore.

    \mathbf{v}_{s}=\mathbf{n}_{\pi_1}\times\mathbf{n}_{\pi_2}=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&-1&0\\ 1&1&2\end{pmatrix}=

    Sviluppato il determinante della matrice con la regola di Laplace lungo la terza colonna

    \\ =\mathbf{k}\,\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&1\end{pmatrix}-0\,\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}\\ 1&1\end{pmatrix}+2\,\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}\\ 1&-1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =[1+1]\,\mathbf{k}+2(-\mathbf{i}-\mathbf{j})=-2\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}

    scopriamo che \mathbf{v}_{s} è:

    \mathbf{v}_{s}=(-2,-2,2)

    A questo punto, il più dell'esercizio è fatto, perché è evidente che \mathbf{v}_{r},\mathbf{v}_{s} sono vettori proporzionali, infatti

    \mathbf{v}_{s}=-2\,\mathbf{v}_{r}

    e, in quanto tali, individuano la medesima direzione! Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di concludere che r,s sono rette parallele!

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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