Soluzioni
  • Studiamo la posizione reciproca delle rette r,s chiedendoci innanzitutto se sono parallele. Partiamo dalle equazioni parametriche della retta r

    r: x = t ; y = t ; z = 1-t con t∈R

    e individuiamone la direzione esibendo il vettore direttore naturale associato alla rappresentazione, composto dai coefficienti di t

    v_(r) = (1,1,-1)

    Richiede qualche passaggio in più il vettore direttore di s di equazioni cartesiane

    s: x-y = 0 ; x+y+2z = 2

    Indichiamo con π_1, π_2 i piani che si intersecano nella retta s

     π_1: x-y = 0 ; π_2: x+y+2z = 2

    e determiniamo i loro vettori dei coefficienti direttori n_(π_1),n_(π_2). Più precisamente:

    n_(π_1) è il vettore avente per componenti i coefficienti delle incognite x,y,z della rappresentazione cartesiana del piano π_1 e individua la direzione perpendicolare a π_1.

    n_(π_1) = (1,-1,0)

    n_(π_2) è il vettore composto dai coefficienti delle incognite x,y,z che figurano nell'equazione cartesiana di π_2 e individua la direzione ortogonale a π_2.

    n_(π_2) = (1,1,2)

    Se calcoliamo il loro prodotto vettoriale, otterremo un vettore parallelo alla retta s che eleggeremo a vettore direttore.

    v_(s) = n_(π_1)×n_(π_2) = det[i j k ; 1 -1 0 ; 1 1 2] =

    Sviluppato il determinante della matrice con la regola di Laplace lungo la terza colonna

     = k ,det[1 -1 ; 1 1]-0 ,det[i j ; 1 1]+2 ,det[i j ; 1 -1] = [1+1] ,k+2(-i-j) = -2i-2j+2k

    scopriamo che v_(s) è:

    v_(s) = (-2,-2,2)

    A questo punto, il più dell'esercizio è fatto, perché è evidente che v_(r),v_(s) sono vettori proporzionali, infatti

    v_(s) = -2 ,v_(r)

    e, in quanto tali, individuano la medesima direzione! Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di concludere che r,s sono rette parallele!

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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