Studiamo la posizione reciproca delle rette
chiedendoci innanzitutto se sono parallele. Partiamo dalle equazioni parametriche della retta
e individuiamone la direzione esibendo il vettore direttore naturale associato alla rappresentazione, composto dai coefficienti di
Richiede qualche passaggio in più il vettore direttore di
di equazioni cartesiane
Indichiamo con
i piani che si intersecano nella retta
e determiniamo i loro vettori dei coefficienti direttori
. Più precisamente:
è il vettore avente per componenti i coefficienti delle incognite
della rappresentazione cartesiana del piano
e individua la direzione perpendicolare a
.
è il vettore composto dai coefficienti delle incognite
che figurano nell'equazione cartesiana di
e individua la direzione ortogonale a
.
Se calcoliamo il loro prodotto vettoriale, otterremo un vettore parallelo alla retta
che eleggeremo a vettore direttore.
Sviluppato il determinante della matrice con la regola di Laplace lungo la terza colonna
scopriamo che
è:
A questo punto, il più dell'esercizio è fatto, perché è evidente che
sono vettori proporzionali, infatti
e, in quanto tali, individuano la medesima direzione! Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di concludere che
sono rette parallele!
Abbiamo finito!
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