Esercizio sulla posizione delle rette nello spazio

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Mi è capitato un problema sulla posizione reciproca tra due rette nello spazio che purtroppo non so risolvere per via delle forme delle equazioni che le definiscono. Dalla soluzione so che le due rette sono parallele, ma come faccio a dimostrarlo?

 

Si studi la posizione reciproca delle rette r,s definite dalle equazioni

 

\\ r:\ \begin{cases}x=t\\ y=t\\ z=1-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-y=0\\ x+y+2z=2\end{cases}

 

Grazie.

Domanda di ste90ban

 
Soluzioni

  • Studiamo la posizione reciproca delle rette r,s chiedendoci innanzitutto se sono parallele. Partiamo dalle equazioni parametriche della retta r

    r:\ \begin{cases}x=t\\ y=t \\ z=1-t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    e individuiamone la direzione esibendo il vettore direttore naturale associato alla rappresentazione, composto dai coefficienti di t

    \mathbf{v}_{r}=(1,1,-1)

    Richiede qualche passaggio in più il vettore direttore di s di equazioni cartesiane

    s:\ \begin{cases}x-y=0\\ x+y+2z=2\end{cases}

    Indichiamo con \pi_1, \pi_2 i piani che si intersecano nella retta s

    \\ \pi_1:\ x-y=0 \\ \\ \pi_2:\ x+y+2z=2

    e determiniamo i loro vettori dei coefficienti direttori \mathbf{n}_{\pi_1},\mathbf{n}_{\pi_2}. Più precisamente:

    \mathbf{n}_{\pi_1} è il vettore avente per componenti i coefficienti delle incognite x,y,z della rappresentazione cartesiana del piano \pi_1 e individua la direzione perpendicolare a \pi_1.

    \mathbf{n}_{\pi_1}=(1,-1,0)

    \mathbf{n}_{\pi_2} è il vettore composto dai coefficienti delle incognite x,y,z che figurano nell'equazione cartesiana di \pi_2 e individua la direzione ortogonale a \pi_2.

    \mathbf{n}_{\pi_2}=(1,1,2)

    Se calcoliamo il loro prodotto vettoriale, otterremo un vettore parallelo alla retta s che eleggeremo a vettore direttore.

    \mathbf{v}_{s}=\mathbf{n}_{\pi_1}\times\mathbf{n}_{\pi_2}=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&-1&0\\ 1&1&2\end{pmatrix}=

    Sviluppato il determinante della matrice con la regola di Laplace lungo la terza colonna

    \\ =\mathbf{k}\,\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&1\end{pmatrix}-0\,\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}\\ 1&1\end{pmatrix}+2\,\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}\\ 1&-1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =[1+1]\,\mathbf{k}+2(-\mathbf{i}-\mathbf{j})=-2\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}

    scopriamo che \mathbf{v}_{s} è:

    \mathbf{v}_{s}=(-2,-2,2)

    A questo punto, il più dell'esercizio è fatto, perché è evidente che \mathbf{v}_{r},\mathbf{v}_{s} sono vettori proporzionali, infatti

    \mathbf{v}_{s}=-2\,\mathbf{v}_{r}

    e, in quanto tali, individuano la medesima direzione! Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di concludere che r,s sono rette parallele!

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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