Esercizio sulla posizione delle rette nello spazio

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Mi è capitato un problema sulla posizione reciproca tra due rette nello spazio che purtroppo non so risolvere per via delle forme delle equazioni che le definiscono. Dalla soluzione so che le due rette sono parallele, ma come faccio a dimostrarlo?

 

Si studi la posizione reciproca delle rette r,s definite dalle equazioni

 

r: x = t ; y = t ; z = 1-t con t∈R ; s: x-y = 0 ; x+y+2z = 2

 

Grazie.

Domanda di ste90ban

 
Soluzioni

  • Studiamo la posizione reciproca delle rette r,s chiedendoci innanzitutto se sono parallele. Partiamo dalle equazioni parametriche della retta r

    r: x = t ; y = t ; z = 1-t con t∈R

    e individuiamone la direzione esibendo il vettore direttore naturale associato alla rappresentazione, composto dai coefficienti di t

    v_(r) = (1,1,-1)

    Richiede qualche passaggio in più il vettore direttore di s di equazioni cartesiane

    s: x-y = 0 ; x+y+2z = 2

    Indichiamo con π_1, π_2 i piani che si intersecano nella retta s

    π_1: x-y = 0 ; π_2: x+y+2z = 2

    e determiniamo i loro vettori dei coefficienti direttori n_(π_1),n_(π_2). Più precisamente:

    n_(π_1) è il vettore avente per componenti i coefficienti delle incognite x,y,z della rappresentazione cartesiana del piano π_1 e individua la direzione perpendicolare a π_1.

    n_(π_1) = (1,-1,0)

    n_(π_2) è il vettore composto dai coefficienti delle incognite x,y,z che figurano nell'equazione cartesiana di π_2 e individua la direzione ortogonale a π_2.

    n_(π_2) = (1,1,2)

    Se calcoliamo il loro prodotto vettoriale, otterremo un vettore parallelo alla retta s che eleggeremo a vettore direttore.

    v_(s) = n_(π_1)×n_(π_2) = det[i j k ; 1 -1 0 ; 1 1 2] =

    Sviluppato il determinante della matrice con la regola di Laplace lungo la terza colonna

    = k ,det[1 -1 ; 1 1]-0 ,det[i j ; 1 1]+2 ,det[i j ; 1 -1] = [1+1] ,k+2(-i-j) = -2i-2j+2k

    scopriamo che v_(s) è:

    v_(s) = (-2,-2,2)

    A questo punto, il più dell'esercizio è fatto, perché è evidente che v_(r),v_(s) sono vettori proporzionali, infatti

    v_(s) = -2 ,v_(r)

    e, in quanto tali, individuano la medesima direzione! Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di concludere che r,s sono rette parallele!

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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