Soluzioni
  • Ciao Submarcos90, l'esercizio è molto lungo e nemmeno voglio farti aspettare troppo. Ti dico il procedimento e poi, eventualmente, mi posti i calcoli così controlliamo insieme?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ovviamente si! 

    per quanto riguarda la matrice associata rispetto alle basi canoniche dovrebbe essere 

     begin{matrix}1 -1 0\\2 1 3 \\1 0 1\\0 3 3 \end {matrix}

     

    sui 2 passaggi successivi ho molta confusione :/

     

    Risposta di submarcos90
  • ovviamente si! 

    per quanto riguarda la matrice associata rispetto alle basi canoniche dovrebbe essere 

     \begin{matrix}1 -1 0\\2 1 3 \\1 0 1\\0 3 3 \end {matrix}

     

    sui 2 passaggi successivi ho molta confusione :/

     

    Risposta di submarcos90
  • Cominciamo dalla matrice associata all'applicazione lineare: occhio che è esattamente la trasposta di quella che hai scritto tu, infatti T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3, quindi è data da

    A=\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\ -1&1&0&3\\ 0&3&1&3\end{matrix}\right]

    Per determinare la dimensione e una base del nucleo Ker(T), devi risolvere il sistema lineare

    A\cdot [x_1,x_2,x_3,x_4]^{T}=[0,0,0,0]^{T}

    che è un sistema omogeneo (poni le componenti della generica immagine uguali a zero). Poi esprimi la generica soluzione come combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti. I vettori linearmente indipendenti che hai determinato costituiscono una base del nucleo, mentre il numero di vettori linearmente indipendenti è la dimensione del nucleo stesso.

    Pensi di farcela?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non so se è giusto, scusami se non faccio i passaggi ma con le matrici vado in confusione :/

    mi escono risolvendo 2 vettori linearmente indipendenti, quindi altri 2 vettori linearmente indipendenti quindi dim nucleo dovrebbe essere 2. 

    cmq mi esce :

    {tex}x1=-s/3 + 2t {\tex}

    {tex}x2=-s/3 -t {\tex}

    {tex}x3= s {\tex}

    {tex}x4= t {\tex}

     

    Risposta di submarcos90
  • "mi escono risolvendo 2 vettori linearmente indipendenti"

    E questo è bene! :) Infatti il terzo vettore riga della matrice dipende linearmente dai primi due, inoltre i calcoli che hai effettuato sono corretti (occhio allo slash di chiusura del codice LaTeX, è / e non \ Wink).

    Se ne deduce che il nucleo dell'applicazione lineare ha dimensione 2, e una sua base è data dai vettori

    \left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},1,0\right),(2,-1,0,1)

    ---

    Per trovare dimensione e una base dell'immagine dell'applicazione lineare, puoi ridurre a scalini la matrice associata all'applicazione lineare mediante la procedura di eliminazione gaussiana. Le colonne corrispondenti ai pivot non nulli sono una base dell'immagine dell'applicazione lineare, mentre il numero di pivot non nulli è la dimensione dell'immagine, nonché il rango della matrice associata.

    Per inciso, si trovano 2 pivot non nulli corrispondenti ai vettori colonna

    (1,-1,0),(2,1,3)

    che costituiscono una base dell'immagine.

    L'immagine dell'applicazione lineare è infatti lo spazio generato dalle colonne della matrice associata all'applicazione lineare.

    Per dedurre la dimensione dell'immagine, avremmo equivalentemente potuto utilizzare il teorema della nullità più rango:

    dim(\mathbb{R}^4)=dim(Ker(T))+dim(Im(T))

    da cui

    dim(Im(T))=4-2=2.

    ---

    Da quanto osservato, si deduce che l'applicazione lineare considerata non è né iniettiva né suriettiva, perché ha nucleo non banale e perché dim(Im(T))<3.

    ---

    In effetti questa è più una domanda da Forum Tongue Se vuoi per gli altri punti continuiamo là..

    Namasté!

    Risposta di Omega
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