Soluzioni
  • Ciao Giulia arrivo, però mi devi dare un po di tempo ! :P

    Risposta di Ifrit
  • La matrice associata, rispetto alle basi canoniche, alla applicazione lineare è:

    A=\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\-1&0&1&0\end{pmatrix}

    Riduciamola a scala:

    \begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

    Da qui capiamo che il rango della matrice è 2, quindi la dimensione della immagine è 2, mentre la dimensione del nucleo è 2 e segue dal teorema di rango nullità.

    Troviamo la base del nucleo, grazie alla riduzione a scala abbiamo:

    \begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}

    otteniamo il sistema:

    \begin{cases}x-y=0\\ y-z=0\end{cases}

    Da cui:

    x=y, z=y

    Quindi un vettore generico del nucleo è:

    \begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\y\\y\\t\end{pmatrix}=

    = y\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}

     

    I vettori che appaiono nella scomposizione sono i vettori della base del nucleo:

    \ker(A)=span\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right)

    Quello che segue in realtà non è necessario! Però è utile perché ricorre spesso negli esercizi

    Applichiamo ora ai vettori della base canonica di \mathbb{R}^4 la nostra applicazione:

    f(e_1)= (1, 0,-1)

    f(e_2)= (-1, 1, 0)

    f(e_3)= (0, -1, 1)

    f(e_4)= (0, 0, 0)

     

    Scriviamo i vettori colonna appena ottenuti sottoforma di matrice:

    \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\-1&0&1&0\end{pmatrix} (troviamo la matrice A ecco perché inutile)

    Riducendo a scala otteniamo:

    \begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

    Quindi dobbiamo prendere i vettori colonna della matrice A che hanno pivot, cioè:

    \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

    e

     

    \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}

    Perdonami, mi hanno chiamato e mi sono allontanato dal pc! :(

    Risposta di Ifrit
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