Esercizio su equazioni cartesiane di piano e retta

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Algebra

Salve, ho un problema con un esercizio su piani e rette nello spazio e sulle equazioni cartesiane. L'esercizio è questo:

 

Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O; i ; j; k), si considerino i vettori v = i - j + k ed u = i - 2j e le rette r = Span(v) ed s = Span(u). Determinare:

 

(a) L'equazione cartesiana del piano  contenente le rette r e s:

 

(b) Le equazioni cartesiane della retta n perpendicolare al piano e passante per P = (1; 1; 1):

 

(c) Le coordinate del punto P' proiezione ortogonale di P sul piano:

 

(d) Una scrittura del vettore OP' come combinazione lineare di v e u:

 

Ora il mio problema riguarda il primo punto, io so trovare l'equazione cartesiana di un piano che passa per 3 punti avendo i 3 punti noti, oppure un punto e le due equazioni della retta passante per gli altri 2, ma così come faccio? E se mi spiegaste anche gli ultimi 2 punti ve ne sarei grato! :)

Domanda di Niki_89

 
Soluzioni

  • Eccoci. Per trovare il piano contente le due rette, devi considerare l'equazione generica del piano

    ax+by+cz+d = 0

    dove (a,b,c) sono i parametri direttori del piano ed indicano la direzione della normale al piano. Per determinarli, ti basta calcolare il prodotto vettoriale tra le direzioni delle due rette. Fatto ciò, calcoli il punto di intersezione tra le due rette e ne sostituisci le coordinate nell'equazione del piano, determinando così d. Imponi, cioè, la condizione di passaggio del piano per il punto di intersezione tra le due rette.

    Per il punto (b), ti basta determinare la retta avente direzione data dai parametri direttori del piano e passante per il punto assegnato. Puoi comodamente scriverla in forma parametrica

    Per il punto (c), prendi la retta determinata al punto (b) e sostituiscine le equazioni parametriche nell'equazione del piano. In questo modo trovi la proiezione P' del punto P sul piano.

    Infine, per il punto (d), calcoli le coordinate del vettore OP'= P'-O e determini due coefficienti α, β tali che

    OP'= α v+β u

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Come faccio a determinare il punto di intersezione tra le due rette se ho solo le due direzioni? Io so trovarlo avendo le equazioni ma qui ho solo direzione senza punti!!

     

    Risposta di Niki_89

  • Scusami, effettvamente l'ho dato per scontato, ma essendo le due rette definite come span di vettori:

    r = Span(v)

    s = Span(u)

    devono necessariamente passare per l'origine, infatti lo span è il sottospazio di tutte le combinazioni lineari - in questo caso multipli scalari perché stiamo considerando lo span di singoli vettori.

    Quindi, il punto di intersezione delle due rette è banalmente (0,0,0).

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra