Soluzioni
  • Molto semplicemente, osserviamo che il triangolo APB è un triangolo rettangolo in P e dunque l'angolo BAP ha ampiezza

    BAP=\frac{\pi}{2}-x

    D'altra parte, i triangoli APB e BPC sono congruenti in quanto hanno un lato in comune (PB), i lati congruenti PA=PC e i due angoli APB=BPA.

    Basta calcolare l'area del triangolo APB e moltiplicarla per 2 per trovare l'area del triangolo ABC. Calcoliamoci la misura dei cateti con le formule trigonometriche per i triangoli rettangoli:

    PB=(2r)\cos{(x)} 

    PA=(2r)\sin{(x)}

    Quindi

    A(x)=2\frac{(2r\cos{(x)}2r\sin{(x)})}{2}

    essendo l'area di un triangolo rettangolo il semiprodotto dei due cateti.

    Non resta che risolvere la disequazione

    A(x)\geq r^2

    che è una disequazione goniometrica

    4\sin{(x)}\cos{(x)}\geq 1

    Magari utilizzando una bella formula di duplicazione e riscrivendola nella forma

    2\sin{(2x)}\geq 1

    Namasté!

    Risposta di Omega
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