Soluzioni
  • Ciao Povi, grazie per aver aperto questa nuova domanda.

     

    Il passaggio che non  ti torna è un trucco che si usa spesso per semplificare un pochino i calcoli.

     

    Se nella somma

     

    k=0 n (n su k) an+1-k bk

     

    sostituiamo k=0 otteniamo (la scrivo pezzetto per pezzetto):

     

    (n su 0) = 1 per definizione di coefficiente binomiale,

     

    an+1-0 = an+1

     

    b0 = 1

     

    Quindi avremmo

     

    (n su 0) an+1 b0 = 1 · an+1 · 1= an+1

     

    In sostanza esplicitiamo il valore della sommatoria nel caso k=0, scriviamo fuori dalla sommatoria il valore che abbiamo trovato e correggiamo l'intervallo sugli indici ponendo k=1,..,n  e non più k=0,..,n altrimenti conteremmo due volte lo stesso termine.

    Perché possiamo scriverlo fuori dalla sommatoria? Perché non dipende da k!

     

    Con la seconda sommatoria utilizziamo lo stesso trucco per k=n

     

    k=0 n (n su k) an-k bk+1

     

    se k=n si ha

     

    (n su n)= 1 per definizione di coefficiente binomiale

     

    an-n= a0 = 1

     

    bn+1 è l'unico termine che sopravvive e possiamo scriverlo fuori dalla sommatoria.

     

    Ancora una volta dobbiamo correggere l'insieme degli indici su cui sommiamo: non più k=0,...,n ma  k=0,...,n-1 altrimenti conteremmo due volte il termine dato da k=n.

     

    Quindi sommando tutto abbiamo

     

    an+1+ ∑k=1 n (n su k) an+1-k bk            +        bn+1 +∑k=0 n-1 (n su k) an-k bk+1

     

    dove, riassumendo, an+1 si ottiene sostituendo k=0 nella prima sommatoria per poi aggiustare gli indici (da k=0,..,n passiamo a k=1,...,n) per eliminare il caso particolare che abbiamo calcolato dalla sommatoria. L'addendo bn+1 invece si ricava sostituendo k=n nella seconda sommatoria e dopo averlo scritto fuori si aggiusta l'insieme degli indici escludendo il caso k=n, cioè si passa da k=0,...,n a k=0,...,n-1.

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha
  • Grazie per la risposta. Comunque non ho capito che vuol dire :

    Perché possiamo scriverlo fuori dalla sommatoria? Perché non dipende da k!

    e poi nella seconda sommatoria perchè 

    k=0 n-1 e non

    k=1 n

    come nel primo caso?

    Risposta di povi
  •  

    Cambio ordine alle tue domande: rispondo prima a

     

    e poi nella seconda sommatoria perchè 

    k=0 n-1 e non

    k=1 n

    come nel primo caso?

     

    Perché per ottenere il termine bn+1 nella seconda sommatoria abbiamo valutato la somma per k=n, dunque dobbiamo togliere il caso k=n dall'insieme degli indici della sommatoria semplicemente perché lo abbiamo già calcolato.

    Quindi se prima gli indici erano da 0 a n, ma abbiamo valutato la sommatoria per k=n, allora dobbiamo togliere quel caso dalla sommatoria, quindi sommiamo sugli indici {k=0,..,n e k≠n}, quindi k=0,..,n-1.

     

    Per l'altra domanda facciamo un esempio più semplice: consideriamo la sommatoria

     

    k=0 3 (k+1)= (0+1)+(1+1)+(2+1)+(3+1)=1+2+3+4=10

     

    Ora se valutiamo la sommatoria in 0 otteniamo il termine 0+1, scartiamo il caso k=0 dalla sommatoria, per farlo agiamo sull'insieme degli indici togliendo il caso k=0.

     

    L'insieme di indici della nostra sommatoria è Indici={0,1,2,3} sono i valori di k. Se escludiamo k=0 il nuovo insieme di indici è dato da I2={1,2,3}. La somma che otteniamo considerando come insieme di indici I2 è

     

    k=1 3 (k+1)= (1+1)+(2+1)+(3+1)=2+3+4=9

     

    come vedi la somma è diversa dalla prima che abbiamo considerato. Per farle coincidere dobbiamo sommare alla sommatoria il caso particolare in cui k=0. Abbiamo fatto il conto prima: se k=0 allora (k+1)= (0+1)=1. Detto questo vale l'uguaglianza

     

    k=0 3 (k+1)= 1 + ∑k=1 3 (k+1)

     

    infatti

     

    1 + ∑k=1 3 (k+1)= 1+(1+1)+(2+1)+(3+1)=2+3+4=10=∑k=0 3 (k+1)

     

    Se valutiamo esplicitamente il caso in cui k=3, cioè l'equivalente del caso k=n nella tua sommatoria, allora l'insieme degli indici su cui sommiamo sarà, dovendo escludere k=3,

    I3={0,1,2}. Quindi per un ragionamento analogo a quello che abbiamo fatto prima la nuova sommatoria, perché sia equivalente a ∑k=0 3 (k+1) dovrà essere scritta come la sommatoria sull'insieme di indici I3 più il risultato della valutazione dell'argomento della sommatoria per k=3.

     

    Ora se k=3 si ha che  (k+1)=(3+1)=4, quindi dovremo considerare

     

    4 + ∑k=0 2(k+1)=4+(0+1)+(1+1)+(1+2)=4+1+2+3=10

     

    Spero che ora sia più chiaro.

     

    Alpha

     

     

     

    Risposta di Alpha
  • Wao non mi aspettavo una spiegazione simile xD. Sei stato chiarissimo ora vorrei capire degli ultimi passi che ho imparato a memoria e che vorrei capire.

    Fino al passaggio :

    an+1+bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh capisco ma dopo perchè 

    an+1+bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh =

    (n+1 su 0)an+1+(n+1 su n+2)bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh  dove escono (n+1 su 0) e (n+1 su n+2) poi da questo passaggio come si arriva al passaggio finale

    h=0 n+1 (n+1 su h) an+1-h bh

    Grazie mille ancora.

    Risposta di povi
  • Sei sicuro che sia

    (n+1 su 0)an+1+(n+1 su n+2)bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh

    quel n+2 nel binomiale non mi convince molto...Appena mi rispondi, vediamo di risolvere ogni tuo dubbio.

    Risposta di Omega
  • su gli ultimi tre passaggi ho questo :

    an+1+bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh(capito)

    (n+1 su 0)an+1+(n+1 su n+2)bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh=

    h=0 n+1 (n+1 su h) an+1-h bh

    gli ultimi due non ho capito da dove escono. 

    Risposta di povi
  • Aspetta, aspetta. Un secondo: come fa a saltarti fuori

    (n+1 su n+2) ???

    Il coefficiente binomiale (n su k) è definito solamente per k compreso tra zero ed n, al più k=n...Non può essere più grande di n!

    Risposta di Omega
  • forse ho sbagliato a scrivere. Ultimamente sto confondendo a scrivere l'uno con il due. Può essere ( n+ 1 su n+1) e se è cosi questo sarebbe come scrivere uno davanti a 

    bn+1

    Quindi non cambia il risultato? e lo stesso vale per 

    an+1?

    e poi come si arriva alla fine? Grazie ancora.

    Risposta di povi
  • Adesso torna tutto, perchè

    (n+1 su 0)= 1

    (n+1 su n+1)= 1

    cioè: hai semplicemente riscritto gli 1 che moltiplicano i due termini fuori dalla sommatoria in forma di coefficienti binomiali. Un modo furbo per poterli poi inserire nella sommatoria...

    Se risolto, ti chiedo la cortesia di cliccare su "Accetta risposta" alla prima risposta di Alpha.

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Ifrit
  • No non ho risolto xD. Come si arriva da :

    (n+1 su 0)an+1+(n+1 su n+1)bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh

    alla fine

    h=0 n+1 (n+1 su h) an+1-h bh

    Risposta di povi
  • (n+1 su 0)an+1+(n+1 su n+1)bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh =

    (n+1 su 0)*an+1*1+(n+1 su n+1)*1*bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh =

    =(n+1 su 0)an+1b0+(n+1 su n+1)a0bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h bh =

    =(n+1 su 0)an+1b0+∑h=1 n+1 (n+1 su h) an+1-h bh =

    =∑h=0 n+1 (n+1 su h) an+1-h bh

    Così è più chiaro?

    Risposta di Omega
  • Sarà stupido ma non capisco il passaggio da :

    =(n+1 su 0)an+1b0+(n+1 su n+1)a0bn+1+∑h=1 n (n+1 su h) an+1-h b=

    =(n+1 su 0)an+1b0+∑h=1 n+1 (n+1 su h) an+1-h b fino a 

    (n+1 su 0)an+1b0

    rimane uguale ma poi che succede alla a e alla sommatoria? Forse c'è qualche proprietà della sommatoria che non capisco.

    Risposta di povi
  • No, non c'è niente da capire...se hai

    (n+1 su n+1)a0bn+1

    e fai caso all'indice di sommatoria al primo passaggio, h=1...n, non fai altro che includere il termine nella sommatoria. Per fare ciò, dovrai modificare gli estremi dell'indice di sommatoria, che al nuovo passaggio saranno h=1...n+1.

    Hai aggiunto un termine alla sommatoria.

    Poi per passare da

    (n+1 su 0)an+1b0+∑h=1 n+1 (n+1 su h) an+1-h bh

    a

    h=0 n+1 (n+1 su h) an+1-h bh

    includi

    (n+1 su 0)an+1b0

    nella sommatoria, quindi dovrai modificare gli indici da h=1...n+1 a h=0...n+1.

    Non pensare a motivi astrusi, non c'è niente di difficile. In ogni passaggio includi un termine nella sommatoria e modifichi opportunamente gli indici.

     



    Risposta di Omega
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