Soluzioni
  • Ok, quindi l'equazione logaritmica è

    \log_{2^x}{(2^x+1)}=\log_{2^x+1}{(2^x)}

    Con la formula del cambiamento di base, portiamo tutto in base 2. Prima però ci vogliono le condizioni di esistenza:

    - la base dei logaritmi deve essere positiva e diversa da 1;

    - l'argomento dei logaritmi deve essere positivo;

    Non ci sono problemi sulle condizioni di esistenza, perché l'esponenziale è sempre positiva. Dobbiamo solo richiedere x\neq 0 per fare in modo che la base del primo logaritmo non sia 1.

    Procediamo.

    Con la formula del cambiamento di base

    \log_{a}{(b)}=\frac{\log_{c}{(b)}}{\log_{c}{(a)}}

    passiamo all'equazione

    \frac{\log_{2}{(2^x+1)}}{\log_{2}{(2^x)}}=\frac{\log_{2}{(2^x)}}{\log_{2}{(2^x+1)}}

    ossia, per definizione di logaritmo

    \frac{\log_{2}{(2^x+1)}}{x}=\frac{x}{\log_{2}{(2^x+1)}}

    da cui

    (\log_{2}{(2^x+1)}})^2=x^2

    Estraiamo le radici quadrate, 

    \log_{2}{(2^x+1)}}=\pm x

     

    Nel primo caso abbiamo, applicando l'esponenziale in base 2 ad entrambi i membri

    2^x+1=2^x

    cioè 1=0, che è un'equazione impossibile.

     

    Nel secondo caso

    2^x+1=2^{-x}

    Questa è un'equazione esponenziale da risolvere mediante sostituzione:

    2^x+1=\frac{1}{2^x}

    poniamo t=2^x, ricordando che la funzione esponenziale è positiva per ogni x\in\mathbb{R}

    t+1-\frac{1}{t}=0

    da cui

    \frac{t^2+t-1}{t}=0

    essendo t>0, ci riduciamo all'equazione di secondo grado

    t^2+t-1=0\ \to\ t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}=\begin{cases}\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\mbox{ non accettabile}\\ \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\mbox{ ok}\end{cases}

    Quindi abbiamo

    t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\ \to\ 2^x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\ \to\ x=\log_{2}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra