Soluzioni
  • L'equazione logaritmica di cui vogliamo le soluzioni è

    \log_{2^x}(2^x+1)=\log_{2^{x}+1}(2^x)

    Per risolverla utilizzeremo la formula del cambiamento di base, con cui porteremo in base 2 ciascun logaritmo[/url]. Prima però ci vogliono le condizioni di esistenza:

    - la base dei logaritmi deve essere positiva e diversa da 1;

    - l'argomento dei logaritmi dev'essere positivo;

    Se osserviamo bene, non ci sono grossi problemi per quanto riguarda gli argomenti proprio perché l'esponenziale è sempre positiva. Dobbiamo solo richiedere che x\ne 0 per fare in modo che la base del primo logaritmo non sia 1.

    L'equazione è quindi ben posta se l'incognita obbedisce al vincolo

    C.E.:\ x\ne 0

    Occupiamoci dei passaggi algebrici. Con la formula del cambiamento di base

    \log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

    ricaviamo le identità

    \\ \log_{2^x}(2^x+1)=\frac{\log_{2}(2^x+1)}{\log_{2}(2^x)}=\frac{\log_{2}(2^x+1)}{x} \\ \\ \\ \log_{2^x+1}(2^x)=\frac{\log_{2}(2^x)}{\log_{2}(2^x+1)}=\frac{x}{\log_{2}(2^x+1)}

    È grazie a tali uguaglianze che passiamo dall'equazione di partenza a

    \frac{\log_{2}(2^x+1)}{x}=\frac{x}{\log_{2}(2^x+1)}

    Trasportiamo tutti i termini al primo

    \frac{\log_{2}(2^x+1)}{x}-\frac{x}{\log_{2}(2^x+1)}=0

    calcoliamo il denominatore comune

    \frac{[\log_{2}(2^x+1)]^2-x^2}{x\log_{2}(2^x+1)}=0

    e infine eliminiamolo così da ottenere l'equazione equivalente (nel C.E.)

    (\log_{2}(2^x+1))^2-x^2=0

    Scomponiamo il primo membro vedendolo come una differenza di quadrati

    (\log_{2}(2^x+1)-x)(\log_{2}(2^x+1)+x)=0

    e sfruttiamo a questo punto la legge di annullamento del prodotto da cui scaturiscono le equazioni logaritmiche

    \log_{2}(2^x+1)-x=0 \ \ \ ,\ \ \ \log_{2}(2^x+1)+x=0

    Analizziamo la prima

    \log_{2}(2^x+1)-x=0 \ \ \ \to \ \ \ \log_{2}(2^x+1)=x

    Applichiamo l'esponenziale in base 2 così da sbarazzarci del logaritmo

    2^x+1=2^x \ \ \ \to \ \ \ 1=0

    Svolti i calcoli elementari ricaviamo un'uguaglianza impossibile, ergo l'equazione non ammette soluzioni.

    Consideriamo l'altra

    \log_{2}(2^x+1)+x=0 \ \ \ \to \ \ \ \log_{2}(2^x+1)=-x

    che applicando l'esponenziale ai due membri diventa

    2^x+1=2^{-x}

    In virtù della definizione di potenza con esponente negativo 2^{-x}=\frac{1}{2^x}, conseguentemente l'equazione si tramuta in

    2^x+1=\frac{1}{2^x}

    Essa è a conti fatti un'equazione esponenziale che possiamo risolvere utilizzando la sostituzione t=2^x grazie alla quale diventa

    t+1=\frac{1}{t}

    ossia

    \frac{t^2+t-1}{t}=0

    Una volta cancellato il denominatore, ci riconduciamo all'equazione di secondo grado

    t^2+t-1=0

    che ammette come soluzioni

    t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}=\begin{cases}\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=t_1 \\ \\ \frac{-1+\sqrt{5}}{2}=t_2\end{cases}

    Le soluzioni dell'equazione in t sono dunque

    t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \ \ \ , \ \ \ t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}

    Attenzione, non abbiamo ancora finito! È necessario infatti ritornare nell'incognita x. Tenendo a mente che t=2^x, la relazione 

    t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}

    si tramuta nell'equazione esponenziale

    2^{x}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}

    che però è impossibile, infatti il primo membro è certamente positivo, mentre il secondo è negativo.

    La relazione

    t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}

    diventa invece

    2^{x}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}

    da cui applicando il logaritmo in base 2 membro a membro ricaviamo la soluzione

    x=\log_{2}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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