Soluzioni
  • Ciao Brizio, arrivo! :D

    Risposta di Ifrit
  • Il dominio che hai scritto non è corretto. Cosa hai fatto? 

    In pratica l'unica funzione che ti dà problemi è l'arcoseno, che ha per dominio [-1, 1]. Il denominatore non crea problemi perché la funzione esponenziale è sempre positiva.

    Dunque la funzione f(x)= \frac{|x-2|}{e^{\arcsin(x)}} ha per dominio [-1, 1].

    Sei d'accordo? ;)

    Risposta di Ifrit
  • Azz hai ragione, ho sbagliato a scrivere gli intervalli. Volevo scrivere [-1,1] :P

    Risposta di Brizio92
  • Bene, con il dominio giusto la questione è ancora più semplice: poichè dobbiamo lavorare solo in [-1, 1] allora 

    |x-2|=-(x-2)=-x+2

    perché sul dominio risulta che x-2\textless 0 quindi possiamo eliminare il valore assoluto specificando il segno dell'argomento. La funzione diventa

    f(x)=\frac{-x+2}{e^{\arcsin(x)}}

    La cui derivata prima è:

    f'(x)= -\frac{(2-x+\sqrt{1-x^2})}{e^{\arcsin(x)}\sqrt{1-x^2}}

    Nota ora che:

    2-x>0\quad\forall x\in (-1, 1)

    inoltre la funzione \sqrt{1-x^2} è non negativa, quindi siamo contenti, possiamo quindi concludere che il numeratore:

    2-x+\sqrt{1-x^2}>0 perché somma di quantità positive. 

    Inoltre il denominatore è positivo perché prodotto di quantità positive. Quindi la frazione:

    \frac{2-x+\sqrt{1-x^2}}{e^{\arcsin(x)}\sqrt{1-x^2}}>0

    il segno meno però cambia le carte in tavola:

    -\frac{2-x+\sqrt{1-x^2}}{e^{\arcsin(x)}\sqrt{1-x^2}}<0\quad\forall x\in (-1,+1)

    possiamo quindi concludere che la funzione di partenza è decrescente!

     

    Risposta di Ifrit
  • Grandissimo, grazie mille!!! :D

    Risposta di Brizio92
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