Limite con Taylor e rapporti
Ho riscontrato diversi problemi con il calcolo di un limite in cui è presente il logaritmo di una frazione algebrica.
Il libro suggerisce di utilizzare gli sviluppi di Taylor Mc Laurin, ma non capisco come. Grazie per l'aiuto.
Analizzando il limite
comprendiamo che si presenta nella forma indeterminata . Il modo migliore per risolverla consiste nell'usare correttamente gli sviluppi di Taylor, ma prima sono necessari dei passaggi algebrici al fine di semplificare leggermente l'espressione della funzione presente nel limite. Particolarmente fastidioso è il termine logaritmico
la cui espressione elaborata impedisce di sfruttare lo sviluppo notevole associato al logaritmo
Possiamo sfruttare le proprietà dei logaritmi per esprimere il logaritmo in maniera differente. Per prima cosa raccogliamo 4 sia al numeratore che al denominatore
e semplifichiamo
In accordo con la proprietà sul logaritmo di un quoziente
possiamo scrivere
Sfruttiamo l'espansione notevole del logaritmo per esprimere lo sviluppo del termine , rimpiazzando ad ogni occorrenza di
il monomio
e del termine sostituendo a
il monomio
Grazie ai due sviluppi possiamo ottenere quello associato al denominatore
Occupiamoci del numeratore, osservando che, in tale istanza la funzione esponenziale non può essere sviluppata perché quando si ha che
. Risulta invece molto utile confrontare gli infinitesimi, analizzando a parte il limite
Poniamo da cui si evince che
ed osserviamo che quando
la variabile
tende a
pertanto il limite diventa
Le proprietà delle potenze e la definizione di potenza con esponente negativo permettono di scrivere il limite come
Al numeratore abbiamo un infinito di ordine inferiore rispetto a quello del denominatore. La nullità di tale limite dimostra che è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a
e, in accordo con il principio di soppressione degli infinitesimi di ordine superiore, il limite
diventa
Semplifichiamo e sfruttiamo la definizione di o-piccolo di 1, così da ottenere
come risultato
Abbiamo portato a termine il nostro compito.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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