Limite con Taylor e rapporti

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Ho riscontrato diversi problemi con il calcolo di un limite in cui è presente il logaritmo di una frazione algebrica.

 

lim_(x → 0)(e^(-(1)/(x^2))-x^2)/((1)/(2)ln((4+3x)/(4+x))-(x)/(4))

 

Il libro suggerisce di utilizzare gli sviluppi di Taylor Mc Laurin, ma non capisco come. Grazie per l'aiuto.

Domanda di xeltonx

 
Soluzioni

  • Analizzando il limite

    lim_(x → 0)(e^(-(1)/(x^2))-x^2)/((1)/(2)ln((4+3x)/(4+x))-(x)/(4))

    comprendiamo che si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)]. Il modo migliore per risolverla consiste nell'usare correttamente gli sviluppi di Taylor, ma prima sono necessari dei passaggi algebrici al fine di semplificare leggermente l'espressione della funzione presente nel limite. Particolarmente fastidioso è il termine logaritmico

    ln((4+3x)/(4+x)) = (•)

    la cui espressione elaborata impedisce di sfruttare lo sviluppo notevole associato al logaritmo

    ln(1+t) = t-(t^2)/(2)+o(t^2)

    Possiamo sfruttare le proprietà dei logaritmi per esprimere il logaritmo in maniera differente. Per prima cosa raccogliamo 4 sia al numeratore che al denominatore

    (•) = ln((4(1+(3)/(4)x))/(4(1+(x)/(4)))) =

    e semplifichiamo

    = ln((1+(3x)/(4))/(1+(x)/(4))) = (• •)

    In accordo con la proprietà sul logaritmo di un quoziente

    ln((a)/(b)) = ln(a)-ln(b) per a > 0 ∧ b > 0

    possiamo scrivere

    (• •) = ln(1+(3x)/(4))-ln(1+(x)/(4))

    Sfruttiamo l'espansione notevole del logaritmo per esprimere lo sviluppo del termine ln(1+(3x)/(4)), rimpiazzando ad ogni occorrenza di t il monomio (3x)/(4)

    ln(1+(3x)/(4)) = (3x)/(4)-(9x^2)/(32)+o(x^2)

    e del termine ln(1+(x)/(4)) sostituendo a t il monomio (x)/(4)

    ln(1+(x)/(4)) = (x)/(4)-(x^2)/(32)+o(x^2)

    Grazie ai due sviluppi possiamo ottenere quello associato al denominatore

    (1)/(2)(ln(1+(3x)/(4))-ln(1+(x)/(4)))-(x)/(4) = (1)/(2)((3x)/(4)-(9x^2)/(32)+o(x^2)-((x)/(4)-(x^2)/(32)+o(x^2)))-(x)/(4) = -(x^2)/(8)+o(x^2)

    Occupiamoci del numeratore, osservando che, in tale istanza la funzione esponenziale non può essere sviluppata perché quando x → 0 si ha che -(1)/(x^2) → +∞. Risulta invece molto utile confrontare gli infinitesimi, analizzando a parte il limite

    lim_(x → 0)(e^(-(1)/(x^2)))/(x^2) =

    Poniamo t = -(1)/(x^2) da cui si evince che x^2 = -(1)/(t) ed osserviamo che quando x → 0 la variabile t tende a -∞ pertanto il limite diventa

    = lim_(t → -∞)(e^(t))/(-(1)/(t^2)) = lim_(t → -∞)-t^2e^(t) =

    Le proprietà delle potenze e la definizione di potenza con esponente negativo permettono di scrivere il limite come

    = lim_(t → -∞)(-t^2)/(e^(-t)) = 0

    Al numeratore abbiamo un infinito di ordine inferiore rispetto a quello del denominatore. La nullità di tale limite dimostra che e^(-(1)/(x^2)) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x^2 e, in accordo con il principio di soppressione degli infinitesimi di ordine superiore, il limite

    lim_(x → 0)(e^(-(1)/(x^2))-x^2)/((1)/(2)ln((4+3x)/(4+x))-(x)/(4)) =

    diventa

    = lim_(x → 0)(-x^2)/(-(x^2)/(8)+o(x^2)) = lim_(x → 0)(-x^2)/(x^2(-(1)/(8)+o(1))) =

    Semplifichiamo x^2 e sfruttiamo la definizione di o-piccolo di 1, così da ottenere 8 come risultato

    = lim_(x → 0)(-1)/(-(1)/(8)+o(1)) = 8

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
 
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