Soluzioni
  • Analizzando il limite

    \lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-x^2}{\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4+3x}{4+x}\right)-\frac{x}{4}}

    comprendiamo che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Il modo migliore per risolverla consiste nell'usare correttamente gli sviluppi di Taylor, ma prima sono necessari dei passaggi algebrici al fine di semplificare leggermente l'espressione della funzione presente nel limite. Particolarmente fastidioso è il termine logaritmico

    \ln\left(\frac{4+3x}{4+x}\right)=(\bullet)

    la cui espressione elaborata impedisce di sfruttare lo sviluppo notevole associato al logaritmo

    \ln\left(1+t\right)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)

    Possiamo sfruttare le proprietà dei logaritmi per esprimere il logaritmo in maniera differente. Per prima cosa raccogliamo 4 sia al numeratore che al denominatore

    (\bullet)=\ln\left(\frac{4\left(1+\frac{3}{4}x\right)}{4\left(1+\frac{x}{4}\right)}\right)=

    e semplifichiamo

    =\ln\left(\frac{1+\frac{3x}{4}}{1+\frac{x}{4}}\right)=(\bullet\bullet)

    In accordo con la proprietà sul logaritmo di un quoziente

    \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \ \ \ \mbox{per} \ a>0\wedge b>0

    possiamo scrivere

    (\bullet\bullet)=\ln\left(1+\frac{3x}{4}\right)-\ln\left(1+\frac{x}{4}\right)

    Sfruttiamo l'espansione notevole del logaritmo per esprimere lo sviluppo del termine \ln\left(1+\frac{3x}{4}\right), rimpiazzando ad ogni occorrenza di t il monomio \frac{3x}{4}

    \ln\left(1+\frac{3x}{4}\right)=\frac{3x}{4}-\frac{9x^2}{32}+o(x^2)

    e del termine \ln\left(1+\frac{x}{4}\right) sostituendo a t il monomio \frac{x}{4}

    ln\left(1+\frac{x}{4}\right)=\frac{x}{4}-\frac{x^2}{32}+o(x^2)

    Grazie ai due sviluppi possiamo ottenere quello associato al denominatore

    \\ \frac{1}{2}\left(\ln\left(1+\frac{3x}{4}\right)-\ln\left(1+\frac{x}{4}\right)\right)-\frac{x}{4}= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-\frac{9x^2}{32}+o(x^2)-\left(\frac{x}{4}-\frac{x^2}{32}+o(x^2)\right)\right)-\frac{x}{4}=-\frac{x^2}{8}+o(x^2)

    Occupiamoci del numeratore, osservando che, in tale istanza la funzione esponenziale non può essere sviluppata perché quando x\to0 si ha che -\frac{1}{x^2}\to+\infty. Risulta invece molto utile confrontare gli infinitesimi, analizzando a parte il limite

    \lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^2}=

    Poniamo t=-\frac{1}{x^2} da cui si evince che x^2=-\frac{1}{t} ed osserviamo che quando x\to0 la variabile t tende a -\infty pertanto il limite diventa

    =\lim_{t\to-\infty}\frac{e^{t}}{-\frac{1}{t^2}}=\lim_{t\to-\infty}-t^2e^{t}=

    Le proprietà delle potenze e la definizione di potenza con esponente negativo permettono di scrivere il limite come

    =\lim_{t\to-\infty}\frac{-t^2}{e^{-t}}=0

    Al numeratore abbiamo un infinito di ordine inferiore rispetto a quello del denominatore. La nullità di tale limite dimostra che e^{-\frac{1}{x^2}} è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x^2 e, in accordo con il principio di soppressione degli infinitesimi di ordine superiore, il limite

    \lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-x^2}{\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4+3x}{4+x}\right)-\frac{x}{4}}=

    diventa

    =\lim_{x\to0}\frac{-x^2}{-\frac{x^2}{8}+o(x^2)}=\lim_{x\to0}\frac{-x^2}{x^2\left(-\frac{1}{8}+o(1)\right)}=

    Semplifichiamo x^2 e sfruttiamo la definizione di o-piccolo di 1, così da ottenere 8 come risultato

    =\lim_{x\to0}\frac{-1}{-\frac{1}{8}+o(1)}=8

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi