Diagonalizzabilità di una matrice in campo reale e in campo complesso

Question

Data una matrice quadrata di ordine tre mi viene chiesto di studiarne la diagonalizzabilità sia in campo reale che in campo complesso. Oltre a calcolarne gli autovalori cosa devo fare? Studiare la diagonalizzabilità della matrice A = [0 1 0 ;-1 0 0 ; 0 0 2] sia in R che in C.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Una matrice quadrata A è diagonalizzabile in un campo K se e solo se sono verificate le seguenti proprietà:-il numero degli autovalori di A appartenenti al campo K e contati con le proprie molteplicità è uguale all'ordine della matrice;-le molteplicità algebrica e geometrica di ciascun autovalore coincidono. Alla luce di questa premessa, per studiare la diagonalizzabilità della matrice A = [0 1 0 ;-1 0 0 ; 0 0 2] sia in R che in C, la prima cosa da fare è calcolarne gli autovalori, che sono gli zeri del polinomio caratteristico. ; p_A(λ) = det(A-λ Id_3) = det[[0 1 0 ;-1 0 0 ; 0 0 2]-λ [1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1]] = svolgiamo le operazioni tra matrici nella coppia di parentesi quadre = det[-λ 1 0 ;-1 -λ 0 ; 0 0 2-λ ] = e calcoliamo il determinante con uno sviluppo di Laplace riferito alla terza riga, in quanto ha due termini nulli ; = (-1)^(3+3)·(2-λ)·det[-λ 1 ;-1 -λ] = (2-λ) (λ^2+1) Gli zeri del polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori di A sono λ_1 = 2 ; λ_2 = imath ; λ_3 = - imath ciascuno con molteplicità algebrica 1, dove imath è l'unità immaginaria. Ne segue allora che A non è diagonalizzabile in R, tant'è vero che A è una matrice quadrata di ordine 3 e l'unico autovalore reale è λ_1 = 2 con molteplicità algebrica 1. Tuttavia A è diagonalizzabile in C, infatti:-ammette tre autovalori complessi distinti (ricordiamo che R ⊂ C, e quindi 2 ∈ C) tanti quant'è l'ordine della matrice;-in generale, la molteplicità geometrica di un autovalore è compresa tra 1 e la relativa molteplicità algebrica. Essendo la molteplicità algebrica di ogni autovalore uguale a 1, è pari a 1 anche la rispettiva molteplicità geometrica. Abbiamo finito!