Soluzioni
  • Una matrice quadrata A è diagonalizzabile in un campo \mathbb{K} se e solo se sono verificate le seguenti proprietà:

    - il numero degli autovalori di A appartenenti al campo \mathbb{K} e contati con le proprie molteplicità è uguale all'ordine della matrice;

    - le molteplicità algebrica e geometrica di ciascun autovalore coincidono.

    Alla luce di questa premessa, per studiare la diagonalizzabilità della matrice

    A=\begin{pmatrix}0&1&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&2\end{pmatrix}

    sia in \mathbb{R} che in \mathbb{C}, la prima cosa da fare è calcolarne gli autovalori, che sono gli zeri del polinomio caratteristico.

    \\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3)= \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}0&1&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&2\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right]=

    svolgiamo le operazioni tra matrici nella coppia di parentesi quadre

    =\mbox{det}\begin{pmatrix}-\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}=

    e calcoliamo il determinante con uno sviluppo di Laplace riferito alla terza riga, in quanto ha due termini nulli

    \\ =(-1)^{3+3} \cdot (2-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\ -1 & -\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ = (2-\lambda) (\lambda^2+1)

    Gli zeri del polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori di A sono

    \lambda_1=2 \ \ ; \ \ \lambda_2=\imath \ \ ; \ \ \lambda_3=-\imath

    ciascuno con molteplicità algebrica 1, dove \imath è l'unità immaginaria.

    Ne segue allora che A non è diagonalizzabile in \mathbb{R}, tant'è vero che A è una matrice quadrata di ordine 3 e l'unico autovalore reale è \lambda_1=2 con molteplicità algebrica 1.

    Tuttavia A è diagonalizzabile in \mathbb{C}, infatti:

    - ammette tre autovalori complessi distinti (ricordiamo che \mathbb{R} \subset \mathbb{C}, e quindi 2 \in \mathbb{C}) tanti quant'è l'ordine della matrice;

    - in generale, la molteplicità geometrica di un autovalore è compresa tra 1 e la relativa molteplicità algebrica. Essendo la molteplicità algebrica di ogni autovalore uguale a 1, è pari a 1 anche la rispettiva molteplicità geometrica.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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