Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale triplo

    iiint_(V)(x-y+z)/(1+x^2+y^2) ,dxdydz

    dove

    V = (x,y,z)∈R^(3) | x^2+y^2 ≤ z, x^2+y^2+z^2 ≤ 2, z ≥ 0

    esaminiamo innanzitutto dal punto di vista geometrico l'insieme di integrazione V: ci occuperemo in un secondo momento dei calcoli.

    Studio del dominio di integrazione

    Le condizioni che definiscono V sono

    x^2+y^2 ≤ z, x^2+y^2+z^2 ≤ 2, z ≥ 0

    e ciascuna di esse individuano una ben precisa porzione dello spazio tridimensionale.

    • x^2+y^2 ≤ z è la regione dei punti dello spazio che giacciono al di sopra del paraboloide di equazione

    mathrmP: z = x^2+y^2

    Il suo vertice è nell'origine e l'asse di simmetria coincide con l'asse delle quote.

    • x^2+y^2+z^2 ≤ 2 definisce la parte di spazio limitata dalla superficie sferica di centro C(0,0,0) e raggio R = √(2) di equazione

    mathrmS: x^2+y^2+z^2 = 2

    • z ≥ 0 identifica tutti i punti dello spazio che hanno quota positiva o al più nulla.

    Poiché le tre condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente, possiamo affermare che V è la regione di spazio compresa tra il paraboloide mathrmP e la superficie sferica mathrmS che giace al di sopra del piano base z = 0.

    Dominio in forma normale per integrale triplo

    Coordinate cilindriche e trasformazione

    La simmetria assiale di V suggerisce di risolvere l'integrale triplo per sostituzione, usando in particolare le coordinate cilindriche

    x = ρcos(θ) ; y = ρsin(θ) ; z = z

    in cui ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, z∈R.

    Implicitamente stiamo usando la trasformazione

    (x,y,z) = Φ(ρ,θ,z) = (ρcos(θ), ρsin(θ),z)

    che ci servirà per usare la formula di integrazione per sostituzione

    iiint_(V)f(x,y,z) , dxdydz = iiint_(Φ^(-1)(V))f(Φ(ρ,θ,z))|det(J_(Φ)(ρ,θ,z))| , dρ dθ dz

    in cui:

    • f(Φ(ρ,θ,z)) è la funzione integranda f(x,y,z) valutata in

    (x,y,z) = (ρcos(θ), ρsin(θ),z)

    • Φ^(-1)(V) è la preimmagine di V mediante la trasformazione Φ;

    • |det(J_(Φ)(ρ,θ,z))| è il valore assoluto dello Jacobiano associato a Φ.

    Calcoliamo ciascun elemento che compone l'integrale al secondo membro della regola di integrazione per sostituzione, partendo da f(Φ(ρ,θ,z)). Poiché la funzione integranda è

    f(x,y,z) = (x-y+z)/(1+x^2+y^2)

    allora

     f(Φ(ρ,θ,z)) = f(ρcos(θ),ρsin(θ),z) = (ρcos(θ)-ρsin(θ)+z)/(1+ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ)) =

    Raccogliendo ρ^2 negli ultimi due addendi al denominatore e usando la relazione fondamentale della trigonometria, la funzione diventa

    = (ρcos(θ)-ρsin(θ)+z)/(1+ρ^2)

    La parte più delicata del problema consiste nell'esplicitare la preimmagine di V mediante Φ, Φ^(-1)(V): per farlo dobbiamo operare le sostituzioni

    x = ρcos(θ) ; y = ρsin(θ) ; z = z

    nelle condizioni che definiscono V

    Il vincolo x^2+y^2 ≤ z si tramuta nella relazione

    ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ) ≤ z → ρ^2 ≤ z

    Il vincolo x^2+y^2+z^2 ≤ 2 si tramuta invece in

    ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ)+z^2 ≤ 2

    da cui

    ρ^2+z^2 ≤ 2

    L'ultima condizione, z ≥ 0, rimane tale e quale. L'insieme Φ^(-1)(V) è quindi composto dalle triple (ρ,θ,z) che soddisfano il sistema

    ρ^2 ≤ z ; ρ^2+z^2 ≤ 2 ; z ≥ 0

    In effetti le tre disequazioni definiscono in maniera univoca Φ^(-1)(V) ma non sono ancora "comode" per risolvere l'integrale. Possiamo certamente fare di meglio: ad esempio possiamo isolare z^2 al primo membro della seconda e scrivere:

    z^2 ≤ 2-ρ^2

    A patto di imporre che 2-ρ^2 sia non negativo, siamo autorizzati a estrarre la radice quadrata dei due membri

    |z| ≤ √(2-ρ^2) con 0 ≤ ρ ≤ √(2)

    Osservato inoltre che z ≥ 0, il valore assoluto può essere cancellato

    0 ≤ z ≤ √(2-ρ^2) con 0 ≤ ρ ≤ √(2)

    Grazie a queste considerazioni, il precedente sistema diventa

    ρ^2 ≤ z ; 0 ≤ z ≤ √(2-ρ^2) con 0 ≤ ρ ≤ √(2)

    il quale è equivalente alla doppia disuguaglianza

    ρ^2 ≤ z ≤ √(2-ρ^2) con 0 ≤ ρ ≤ √(2)

    Chiaramente se devono valere ρ^2 ≤ z e z ≤ √(2-ρ^2), per la proprietà transitiva, deve necessariamente sussistere la disequazione irrazionale

    ρ^2 ≤ √(2-ρ^2)

    il cui insieme soluzione fornisce l'intervallo di variazione della variabile ρ

    0 ≤ ρ ≤ 1

    In definitiva, ρ varia nell'intervallo [0,1], z varia tra ρ^2 e √(2-ρ^2), mentre θ non deve obbedire ad alcun vincolo, ergo varia nel suo intervallo naturale, 0 ≤ θ < 2π.

    Φ^(-1)(V) = (ρ,θ, z) | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ < 2π, ρ^2 ≤ z ≤ √(2-ρ^2)

    Nota: z varia tra due funzioni di ρ e ciò suggerisce di integrare per fili!

    Ultimo ma non meno importante è il valore assoluto dello Jacobiano che per fortuna, nel caso delle coordinate cilindriche è noto

    |det(J_(Φ)(ρ,θ,z))| = ρ

    Calcolo dell'integrale triplo

    Abbiamo tutti gli elementi per calcolare l'integrale triplo

     iiint_(V)(x-y+z)/(1+x^2+y^2) ,dxdydz = iiint_(Φ^(-1)(V))(ρcos(θ)-ρsin(θ)+z)/(1+ρ^2)·ρ , dρ dθ dz =

    che integrando per fili diventa

    = ∫_(0)^(1)∫_(0)^(2π)[∫_(ρ^2)^(√(2-ρ^2))(ρ^2cos(θ)-ρ^2sin(θ)+ρ z)/(1+ρ^2)dz]dθdρ =

    Poiché 1+ρ^2 non dipende né da z né da θ, questo termine passa attraverso agli integrali rispetto a queste variabili

    = ∫_(0)^(1)(1)/(1+ρ^2)∫_(0)^(2π)[∫_(ρ^2)^(√(2-ρ^2))(ρ^2cos(θ)-ρ^2sin(θ)+ρ z)dz]dθdρ =

    A questo punto integriamo rispetto alla variabile z

    = ∫_(0)^(1)(1)/(1+ρ^2)∫_(0)^(2π)[ρ^2cos(θ)z-ρ^2sin(θ)z+(ρ z^2)/(2)]_(z = ρ^2)^(z = √(2-ρ^2))dθdρ = ∫_(0)^(1)(1)/(1+ρ^2)∫_(0)^(2π)ρ^2cos(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2)-ρ^2sin(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2)+(ρ(2-ρ^2-ρ^4))/(2)dθdρ

    Non facciamoci spaventare dall'espressione! Nel momento in cui integriamo rispetto a θ sull'intervallo [0,2π] i termini

    ∫_(0)^(2π)ρ^2cos(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2) ,dθ ; e ; ∫_(0)^(2π)ρ^2sin(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2)dθ

    sono entrambi nulli, infatti

     ∫_(0)^(2π)ρ^2cos(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2) ,dθ = ρ^2(√(2-ρ^2)-ρ^2)∫_(0)^(2π)cos(θ)dθ = ρ^2(√(2-ρ^2)-ρ^2)[sin(θ)]_(θ = 0)^(θ = 2π) = 0

    e allo stesso modo

     ∫_(0)^(2π)ρ^2sin(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2)dθ = ρ^2(√(2-ρ^2)-ρ^2)∫_(0)^(2π)sin(θ) , dθ = ρ^2(√(2-ρ^2)-ρ^2)[-cos(θ)]_(θ = 0)^(θ = 2π) = 0

    Alla luce di ciò l'integrale

    ∫_(0)^(1)(1)/(1+ρ^2)∫_(0)^(2π)ρ^2cos(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2)-ρ^2sin(θ)(√(2-ρ^2)-ρ^2)+(ρ(2-ρ^2-ρ^4))/(2)dθdρ =

    si semplifica nel seguente

     = ∫_(0)^(1)(1)/(1+ρ^2)∫_(0)^(2π)(ρ(2-ρ^2-ρ^4))/(2) ,dθ ,dρ = ∫_(0)^(1)(1)/(1+ρ^2)·(ρ(2-ρ^2-ρ^4))/(2)∫_(0)^(2π)dθ ,dρ = (2π)/(2)∫_(0)^(1)(2ρ-ρ^3-ρ^5)/(1+ρ^2) ,dρ = π∫_(0)^(1)(2ρ-ρ^3-ρ^5)/(1+ρ^2) ,dρ =

    Ci siamo ricondotti all'integrale di una funzione razionale: per risolverlo, mettiamo in evidenza -ρ^3 in -ρ^3-ρ^5

    = π∫_(0)^(1)(2ρ-ρ^3(1+ρ^2))/(1+ρ^2) ,dρ =

    e distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

     = π∫_(0)^(1)((2ρ)/(1+ρ^2)-(ρ^3(1+ρ^2))/(1+ρ^2)) ,dρ = π[∫_(0)^(1)(2ρ)/(1+ρ^2) ,dρ-∫_(0)^(1)ρ^3 ,dρ] =

    Ci siamo! Quelli tra parentesi sono due integrali immediati

     = π[ln(|1+ρ^2|)-(ρ^4)/(4)]_(ρ = 0)^(ρ = 1) = π[ln(2)-(1)/(4)]

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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