Punti estremanti di una funzione con frazione e esponenziali

Ciao Ecaterina, premetto che se vuoi puoi trovare una lezione rapida a cui puoi fare riferimento qui.

Per determinare gli estremi, o punti estemanti, della funzione assegnata dobbiamo prima di tutto calcolarne la derivata prima, che è

g ' (x) = (2/5) x [e^{x^2} - e^{2-x^2}]

ora imponiamo l'equazione

g ' (x) = 0

che ha soluzioni

x=0

e dobbiamo anche risolvere  e^{x^2} - e^{2-x^2}=0, che equivale a

e^{x^2} = e^{2-x^2} o ancora, applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri

x²=2-x²  cioè x=±1

Abbiamo così tre punti candidati ad essere massimo o minimo per la funzione. Per vederese sono massimi o minimi, risolviamo la disequazione

g ' (x) ≥ 0

dove da

(2/5) x [e^{x^2} - e^{2-x^2}] ≥ 0

studiamo separatamente il segno dei due fattori:

x≥0

e^{x^2} - e^{2-x^2}≥0   che ci dà x≤-1 Vel x≥1.

Facendo il grafico con linee piene (+) e linee tratteggiate (-) vedrai che la derivata è positiva per -1≤x≤0 e per x≥1, intervallo in cui la funzione cresce, e negativa altrove.

Quindi x=0 è un punto di massimo, x=±1 sono punti di minimo.

Namasté - Agente Ω