Punti estremanti di una funzione con frazione e esponenziali

calcolare gli estremi di g(x)=1/5(ex2 + e2-x2)

per intenderci meglio: e^(x^2); e^(2-x^2)

Domanda di Ecaterina
Soluzione

Ciao Ecaterina, premetto che se vuoi puoi trovare una lezione rapida qui: massimi e minimi.

Per determinare gli estremi, o punti estremanti, della funzione assegnata dobbiamo prima di tutto calcolarne la derivata prima, che è

g ' (x) = (2/5) x [ex^2 - e2-x^2]

ora imponiamo l'equazione

g ' (x) = 0

che ha soluzioni

x=0

e dobbiamo anche risolvere  ex^2 - e2-x^2=0, che equivale a

ex^2 = e2-x^2 o ancora, applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri

x2=2-x2  cioè x=±1

Abbiamo così tre punti candidati ad essere massimo o minimo per la funzione. Per vederese sono massimi o minimi, risolviamo la disequazione

g ' (x) ≥ 0

dove da

(2/5) x [ex^2 - e2-x^2] ≥ 0

studiamo separatamente il segno dei due fattori:

x≥0

ex^2 - e2-x^2≥0   che ci dà x≤-1 Vel x≥1.

Facendo il grafico con linee piene (+) e linee tratteggiate (-) vedrai che la derivata è positiva per -1≤x≤0 e per x≥1, intervallo in cui la funzione cresce, e negativa altrove.

Quindi x=0 è un punto di massimo, x=±1 sono punti di minimo.

Namasté - Agente Ω


Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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