Limite con esponenziale, seno, coseno e logaritmo

Devo calcolare il limite di un rapporto in cui sono presenti funzioni trigonometriche, logaritmiche ed un'esponenziali con base variabile

 

\lim_{x\to0^{+}}\frac{(x^{2x}-1)\sin(x\log(x))}{1-\cos(x\log(x))}

 

Non so proprio come risolvere la forma di indecisione generata. Una mano per favore.

In Uni - Analisi - Domanda di peppe30

Soluzioni

  • Il limite

    \lim_{x\to0^{+}}\frac{(x^{2x}-1)\sin(x\log(x))}{1-\cos(x\log(x))}=(\bullet)

    genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo attaccare invocando l'identità fondamentale che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica

    h(x)^{k(x)}=e^{k(x)\log(h(x))} \ \ \ \mbox{con} \ h(x)>0

    grazie alla quale il limite si esprime nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{(e^{2x\log(x)}-1)\sin(x\log(x))}{1-\cos(x\log(x))}=(\bullet\bullet)

    A questo punto osserviamo che quando x\to 0^{+} il termine

    x\log(x)\to0

    Ha senso quindi porre t=x\log(x) e osservare che quando x\to0^{+} la variabile t\to0.

    Grazie alla sostituzione il limite si esprime nella forma equivalente

    (\bullet\bullet)=\lim_{t\to0^{+}}\frac{(e^{2t}-1)\sin(t)}{1-\cos(t)}=(\bullet\bullet\bullet)

    che può essere calcolato applicando a dovere i limiti notevoli e più precisamente le relazioni asintotiche ad essi associate.

    Dal limite notevole della funzione esponenziale segue la relazione asintotica

    e^{h(x)}-1\sim_{h(x)\to0}h(x)

    che applicata al limite in esame ci permette di scrivere

    e^{2t}-1\sim_{t\to0}2t

    Dal limite notevole della funzione seno segue la relazione

    \sin(h(x))\sim_{h(x)\to0}h(x)

    che nel caso in esame ci permette di scrivere l'equivalenza

    \sin(t)\sim_{t\to0}t

    In accordo con il limite notevole della funzione coseno possiamo inoltre estrapolare la relazione asintotica

    1-\cos(h(x))\sim_{h(x)\to0}\frac{1}{2}[h(x)]^2

    che nel caso in esame si traduce in

    1-\cos(t)\sim_{t\to0}\frac{1}{2}t^2

    Il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti garantisce l'equivalenza tra il limite dato inizialmente e il seguente

    (\bullet\bullet\bullet)=\lim_{t\to0}\frac{2t\cdot t}{\frac{1}{2}t^2}=

    Siamo in dirittura d'arrivo: scriviamo la frazione di frazioni in forma normale e semplifichiamo in modo opportuno

    =\lim_{t\to0}\frac{4t^2}{t^2}=4

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
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