Limite con esponenziale, seno, coseno e logaritmo
Devo calcolare il limite di un rapporto in cui sono presenti funzioni trigonometriche, logaritmiche ed un'esponenziali con base variabile
Non so proprio come risolvere la forma di indecisione generata. Una mano per favore.
Il limite
genera una forma indeterminata che possiamo attaccare invocando l'identità fondamentale che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica
grazie alla quale il limite si esprime nella forma equivalente
A questo punto osserviamo che quando il termine
Ha senso quindi porre e osservare che quando
la variabile
.
Grazie alla sostituzione il limite si esprime nella forma equivalente
che può essere calcolato applicando a dovere i limiti notevoli e più precisamente le relazioni asintotiche ad essi associate.
Dal limite notevole della funzione esponenziale segue la relazione asintotica
che applicata al limite in esame ci permette di scrivere
Dal limite notevole della funzione seno segue la relazione
che nel caso in esame ci permette di scrivere l'equivalenza
In accordo con il limite notevole della funzione coseno possiamo inoltre estrapolare la relazione asintotica
che nel caso in esame si traduce in
Il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti garantisce l'equivalenza tra il limite dato inizialmente e il seguente
Siamo in dirittura d'arrivo: scriviamo la frazione di frazioni in forma normale e semplifichiamo in modo opportuno
Abbiamo portato a termine il nostro compito.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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