Limite con esponenziale, seno, coseno e logaritmo

Question

Devo calcolare il limite di un rapporto in cui sono presenti funzioni trigonometriche, logaritmiche ed un'esponenziali con base variabile lim_(x → 0^(+))((x^(2x)-1)sin(xlog(x)))/(1-cos(xlog(x))) Non so proprio come risolvere la forma di indecisione generata. Una mano per favore.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → 0^(+))((x^(2x)-1)sin(xlog(x)))/(1-cos(xlog(x))) = (•) genera una forma indeterminata [(0)/(0)] che possiamo attaccare invocando l'identità fondamentale che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica h(x)^(k(x)) = e^(k(x)log(h(x))) con h(x) > 0 grazie alla quale il limite si esprime nella forma equivalente (•) = lim_(x → 0^(+))((e^(2xlog(x))-1)sin(xlog(x)))/(1-cos(xlog(x))) = (• •) A questo punto osserviamo che quando x → 0^(+) il termine xlog(x) → 0 Ha senso quindi porre t = xlog(x) e osservare che quando x → 0^(+) la variabile t → 0. Grazie alla sostituzione il limite si esprime nella forma equivalente (• •) = lim_(t → 0^(+))((e^(2t)-1)sin(t))/(1-cos(t)) = (• • •) che può essere calcolato applicando a dovere i limiti notevoli e più precisamente le relazioni asintotiche ad essi associate. Dal limite notevole della funzione esponenziale segue la relazione asintotica e^(h(x))-1 ~ _(h(x) → 0)h(x) che applicata al limite in esame ci permette di scrivere e^(2t)-1 ~ _(t → 0)2t Dal limite notevole della funzione seno segue la relazione sin(h(x)) ~ _(h(x) → 0)h(x) che nel caso in esame ci permette di scrivere l'equivalenza sin(t) ~ _(t → 0)t In accordo con il limite notevole della funzione coseno possiamo inoltre estrapolare la relazione asintotica 1-cos(h(x)) ~ _(h(x) → 0)(1)/(2)[h(x)]^2 che nel caso in esame si traduce in 1-cos(t) ~ _(t → 0)(1)/(2)t^2 Il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti garantisce l'equivalenza tra il limite dato inizialmente e il seguente (• • •) = lim_(t → 0)(2t·t)/((1)/(2)t^2) = Siamo in dirittura d'arrivo: scriviamo la frazione di frazioni in forma normale e semplifichiamo in modo opportuno = lim_(t → 0)(4t^2)/(t^2) = 4 Abbiamo portato a termine il nostro compito.