Limite con esponenziale, seno, coseno e logaritmo

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Devo calcolare il limite di un rapporto in cui sono presenti funzioni trigonometriche, logaritmiche ed un'esponenziali con base variabile

 

lim_(x → 0^(+))((x^(2x)-1)sin(xlog(x)))/(1-cos(xlog(x)))

 

Non so proprio come risolvere la forma di indecisione generata. Una mano per favore.

Domanda di peppe30

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → 0^(+))((x^(2x)-1)sin(xlog(x)))/(1-cos(xlog(x))) = (•)

    genera una forma indeterminata [(0)/(0)] che possiamo attaccare invocando l'identità fondamentale che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica

    h(x)^(k(x)) = e^(k(x)log(h(x))) con h(x) > 0

    grazie alla quale il limite si esprime nella forma equivalente

    (•) = lim_(x → 0^(+))((e^(2xlog(x))-1)sin(xlog(x)))/(1-cos(xlog(x))) = (• •)

    A questo punto osserviamo che quando x → 0^(+) il termine

    xlog(x) → 0

    Ha senso quindi porre t = xlog(x) e osservare che quando x → 0^(+) la variabile t → 0.

    Grazie alla sostituzione il limite si esprime nella forma equivalente

    (• •) = lim_(t → 0^(+))((e^(2t)-1)sin(t))/(1-cos(t)) = (• • •)

    che può essere calcolato applicando a dovere i limiti notevoli e più precisamente le relazioni asintotiche ad essi associate.

    Dal limite notevole della funzione esponenziale segue la relazione asintotica

    e^(h(x))-1 ~ _(h(x) → 0)h(x)

    che applicata al limite in esame ci permette di scrivere

    e^(2t)-1 ~ _(t → 0)2t

    Dal limite notevole della funzione seno segue la relazione

    sin(h(x)) ~ _(h(x) → 0)h(x)

    che nel caso in esame ci permette di scrivere l'equivalenza

    sin(t) ~ _(t → 0)t

    In accordo con il limite notevole della funzione coseno possiamo inoltre estrapolare la relazione asintotica

    1-cos(h(x)) ~ _(h(x) → 0)(1)/(2)[h(x)]^2

    che nel caso in esame si traduce in

    1-cos(t) ~ _(t → 0)(1)/(2)t^2

    Il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti garantisce l'equivalenza tra il limite dato inizialmente e il seguente

    (• • •) = lim_(t → 0)(2t·t)/((1)/(2)t^2) =

    Siamo in dirittura d'arrivo: scriviamo la frazione di frazioni in forma normale e semplifichiamo in modo opportuno

    = lim_(t → 0)(4t^2)/(t^2) = 4

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
 
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