Equazione complessa di grado 3 e soluzioni in forma cartesiana

Question

Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione di grado 3 nel campo complesso e sinceramente non conosco alcuna formula risolutiva che possa aiutarmi. Calcolare nel campo complesso le radici espresse in forma cartesiana x^3-2x^2+x-2 = 0

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo l'equazione complessa x^3-2x^2+x-2 = 0 che possiamo risolvere raccogliendo parzialmente x^2 x^2(x-2)+x-2 = 0 Infine raccogliamo totalmente il binomio x-2: (x-2)(x^2+1) = 0 Nel campo dei numeri complessi vige la legge di annullamento del prodotto, la quale assicura che un prodotto è nullo nel momento in cui almeno un fattore che lo compone è 0. Imponiamo dunque che il primo fattore è 0 così da ottenere una semplice equazione di primo grado x-2 = 0 ⇒ x = 2 Imponiamo che sia il secondo fattore ad essere nullo x^2+1 = 0 → x^2 = -1 Nel campo dei numeri reali, l'equazione non ha soluzioni perché il quadrato di un numero reale non può essere certamente negativo, ma attenzione! Stiamo lavorando nel campo dei numeri complessi, insieme nel quale l'equazione ha due soluzioni x = ±i dove i è il simbolo matematico usato per indicare l'unità immaginaria. Concludiamo che l'equazione x^3-2x^2+x-2 = 0 ha per soluzioni x_1 = 2 ; x_2 = -i ; x_3 = i Abbiamo terminato!