Soluzioni
  • Risolvere l'equazione complessa

    x^4-(1-i)=0

    equivale a risolvere l'equazione

    x^4=(1-i)

    In sostanza dobbiamo determinare le radici quarte del numero complesso z=1-i. Per prima cosa calcoliamo modulo e argomento di z.

    Poiché la parte reale e la parte immaginaria di z sono rispettivamente

    Re(z)=Re(1-i)=1 \ \ \ ; \ \ \ Im(z)=Im(1-i)=-1

    in accordo con la definizione di modulo di un numero complesso otteniamo

    |z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

    Per quanto riguarda l'argomento, decidiamo di lavorare nell'intervallo (-\pi, \pi] e osservando che la parte reale e la parte immaginaria sono rispettivamente positiva e negativa, usufruiamo della formula

    Arg(z)=\arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}

    dove \arctan(\cdot) indica la funzione arcotangente.

    Grazie ai valori ottenuti, possiamo calcolare le radici quarte complesse di z=1-i mediante la formula

    \\ x_k=\sqrt[4]{|z|}\left[\cos\left(\frac{Arg(z)+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{Arg(z)+2k\pi}{4}\right)\right] \\ \\ \mbox{con} \ k=0,1,2,3

    ossia

    \\ x_k=\sqrt[4]{\sqrt{2}}\left[\cos\left(\frac{-\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}\right)\right] \\ \\ \mbox{con} \ k=0,1,2,3

    che grazie alle proprietà dei radicali si riscrive come

    \\ x_k=\sqrt[8]{2}\left[\cos\left(\frac{-\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}\right)\right] \\ \\ \mbox{con} \ k=0,1,2,3

    Scriviamo esplicitamente le quattro radici:

    - se k=0 otteniamo

    x_0=\sqrt[8]{2}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{16}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{16}\right)\right]

    - se k=1 otteniamo

    x_1=\sqrt[8]{2}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{16}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{16}\right)\right]

    - se k=2 otteniamo

    x_2=\sqrt[8]{2}\left[\cos\left(\frac{15\pi}{16}\right)+i\sin\left(\frac{15\pi}{16}\right)\right]

    - se k=3 otteniamo

    x_3=\sqrt[8]{2}\left[\cos\left(\frac{23\pi}{16}\right)+i\sin\left(\frac{23\pi}{16}\right)\right]

    Osserviamo che l'angolo che definisce x_3 non giace nell'intervallo scelto, ossia (-\pi, \pi]. Poco male, è sufficiente considerare l'angolo trigonometricamente equivalente a \frac{23\pi}{16}, ossia -\frac{9\pi}{16}.

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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