Risolvere l'equazione complessa
equivale a risolvere l'equazione
In sostanza dobbiamo determinare le radici quarte del numero complesso
. Per prima cosa calcoliamo modulo e argomento di
.
Poiché la parte reale e la parte immaginaria di
sono rispettivamente
in accordo con la definizione di modulo di un numero complesso otteniamo
Per quanto riguarda l'argomento, decidiamo di lavorare nell'intervallo
e osservando che la parte reale e la parte immaginaria sono rispettivamente positiva e negativa, usufruiamo della formula
dove
indica la funzione arcotangente.
Grazie ai valori ottenuti, possiamo calcolare le radici quarte complesse di
mediante la formula
ossia
che grazie alle proprietà dei radicali si riscrive come
Scriviamo esplicitamente le quattro radici:
- se
otteniamo
- se
otteniamo
- se
otteniamo
- se
otteniamo
Osserviamo che l'angolo che definisce
non giace nell'intervallo scelto, ossia
. Poco male, è sufficiente considerare l'angolo trigonometricamente equivalente a
, ossia
.
Fatto!
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |