Soluzioni
  • Risolvere l'equazione complessa

    x^4-(1-i) = 0

    equivale a risolvere l'equazione

    x^4 = (1-i)

    In sostanza dobbiamo determinare le radici quarte del numero complesso z = 1-i. Per prima cosa calcoliamo modulo e argomento di z.

    Poiché la parte reale e la parte immaginaria di z sono rispettivamente

    Re(z) = Re(1-i) = 1 ; Im(z) = Im(1-i) = -1

    in accordo con la definizione di modulo di un numero complesso otteniamo

    |z| = √(Re(z)^2+Im(z)^2) = √(1+1) = √(2)

    Per quanto riguarda l'argomento, decidiamo di lavorare nell'intervallo (-π, π] e osservando che la parte reale e la parte immaginaria sono rispettivamente positiva e negativa, usufruiamo della formula

    Arg(z) = arctan((Im(z))/(Re(z))) = arctan(-1) = -(π)/(4)

    dove arctan(·) indica la funzione arcotangente.

    Grazie ai valori ottenuti, possiamo calcolare le radici quarte complesse di z = 1-i mediante la formula

     x_k = [4]√(|z|)[cos((Arg(z)+2kπ)/(4))+isin((Arg(z)+2kπ)/(4))] ; con k = 0,1,2,3

    ossia

     x_k = [4]√(√(2))[cos((-(π)/(4)+2kπ)/(4))+isin((-(π)/(4)+2kπ)/(4))] ; con k = 0,1,2,3

    che grazie alle proprietà dei radicali si riscrive come

     x_k = [8]√(2)[cos((-(π)/(4)+2kπ)/(4))+isin((-(π)/(4)+2kπ)/(4))] ; con k = 0,1,2,3

    Scriviamo esplicitamente le quattro radici:

    - se k = 0 otteniamo

    x_0 = [8]√(2)[cos(-(π)/(16))+isin(-(π)/(16))]

    - se k = 1 otteniamo

    x_1 = [8]√(2)[cos((7π)/(16))+isin((7π)/(16))]

    - se k = 2 otteniamo

    x_2 = [8]√(2)[cos((15π)/(16))+isin((15π)/(16))]

    - se k = 3 otteniamo

    x_3 = [8]√(2)[cos((23π)/(16))+isin((23π)/(16))]

    Osserviamo che l'angolo che definisce x_3 non giace nell'intervallo scelto, ossia (-π, π]. Poco male, è sufficiente considerare l'angolo trigonometricamente equivalente a (23π)/(16), ossia -(9π)/(16).

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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