Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale del coseno al cubo conviene scrivere il coseno al cubo come prodotto tra il coseno e il coseno al quadrato, applicare la proprietà fondamentale della trigonometria e successivamente integrare per sostituzione.

    Tra un attimo saremo più precisi e mostreremo tutti i passaggi, ma intanto anticipiamo il risultato:

    \int \cos^3(x) dx = \sin(x)-\frac{1}{3}\sin^3(x)+c, \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale del coseno al cubo di x

    \int \cos^3(x) dx=

    scriviamo \cos^3(x) come prodotto tra \cos^2(x) e \cos(x)

    =\int \cos^2(x) \cos(x) dx=

    sfruttiamo l'identità fondamentale della Trigonometria e sostituiamo \cos^2(x)

    =\int (1-\sin^2(x)) \cos(x) dx= \ (\bullet)

    A questo punto procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo

    \sin(x)=t

    Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo

    \cos(x) dx = dt

    Sostituiamo nell'integrale:

    (\bullet) = \int (1-t^2) dt =

    per la linearità dell'integrale di Riemann

    =\int 1 dt - \int t^2 dt =

    ci siamo così ricondotti a due integrali notevoli, che dovremmo saper calcolare a occhi chiusi

    =t - \frac{t^3}{3} + c=

    torniamo alla variabile x e sostituiamo t con \sin(x)

    =\sin(x)+\frac{\sin^3(x)}{3}+c

    In definitiva

    \int \cos^3(x) dx = \sin(x)-\frac{1}{3}\sin^3(x)+c, \ \ c \in \mathbb{R}

    ***

    Abbiamo finito! Per concludere ti segnaliamo il tool sul calcolo degli integrali online, con cui puoi verificare i risultati degli esercizi che svolgi autonomamente.

    Risposta di Galois
 
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