Integrale del coseno al cubo
Qual è l'integrale del coseno al cubo? Ho già il risultato, quindi la cosa che più mi interessa è capire come arrivarci. Avevo pensato di procedere con un'integrazione per parti, ma dopo un po' mi blocco.
Esiste un metodo più rapido e più furbo per calcolarlo? Eventualmente sapreste dirmi qual è e mostrarmi come si applica?
Calcolare l'integrale indefinito del coseno al cubo di x
Per calcolare l'integrale del coseno al cubo conviene scrivere il coseno al cubo come prodotto tra il coseno e il coseno al quadrato, applicare la proprietà fondamentale della trigonometria e successivamente integrare per sostituzione.
Tra un attimo saremo più precisi e mostreremo tutti i passaggi, ma intanto anticipiamo il risultato:
Calcolo dell'integrale del coseno al cubo di x
scriviamo come prodotto tra
e
sfruttiamo l'identità fondamentale della Trigonometria e sostituiamo
A questo punto procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo
Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo
Sostituiamo nell'integrale:
per la linearità dell'integrale di Riemann
ci siamo così ricondotti a due integrali notevoli, che dovremmo saper calcolare a occhi chiusi
torniamo alla variabile e sostituiamo
con
In definitiva
***
Abbiamo finito! Per concludere ti segnaliamo il tool sul calcolo degli integrali online, con cui puoi verificare i risultati degli esercizi che svolgi autonomamente.