Integrale del coseno al cubo

Giuseppe Carichino (Galois) -

Qual è l'integrale del coseno al cubo? Ho già il risultato, quindi la cosa che più mi interessa è capire come arrivarci. Avevo pensato di procedere con un'integrazione per parti, ma dopo un po' mi blocco.

Esiste un metodo più rapido e più furbo per calcolarlo? Eventualmente sapreste dirmi qual è e mostrarmi come si applica?

Calcolare l'integrale indefinito del coseno al cubo di x

∫ cos^3(x) dx

Soluzione

Per calcolare l'integrale del coseno al cubo conviene scrivere il coseno al cubo come prodotto tra il coseno e il coseno al quadrato, applicare la proprietà fondamentale della trigonometria e successivamente integrare per sostituzione.

Tra un attimo saremo più precisi e mostreremo tutti i passaggi, ma intanto anticipiamo il risultato:

∫ cos^3(x) dx = sin(x)-(1)/(3)sin^3(x)+c, c ∈ R

Calcolo dell'integrale del coseno al cubo di x

∫ cos^3(x) dx =

scriviamo cos^3(x) come prodotto tra cos^2(x) e cos(x)

= ∫ cos^2(x) cos(x) dx =

sfruttiamo l'identità fondamentale della Trigonometria e sostituiamo cos^2(x)

= ∫ (1-sin^2(x)) cos(x) dx = (•)

A questo punto procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo

sin(x) = t

Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo

cos(x) dx = dt

Sostituiamo nell'integrale:

(•) = ∫ (1-t^2) dt =

per la linearità dell'integrale di Riemann

= ∫ 1 dt-∫ t^2 dt =

ci siamo così ricondotti a due integrali notevoli, che dovremmo saper calcolare a occhi chiusi

= t-(t^3)/(3)+c =

torniamo alla variabile x e sostituiamo t con sin(x)

= sin(x)+(sin^3(x))/(3)+c

In definitiva

∫ cos^3(x) dx = sin(x)-(1)/(3)sin^3(x)+c, c ∈ R

***

Abbiamo finito! Per concludere ti segnaliamo il tool sul calcolo degli integrali online, con cui puoi verificare i risultati degli esercizi che svolgi autonomamente.

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