Integrale del coseno al cubo

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Qual è l'integrale del coseno al cubo? Ho già il risultato, quindi la cosa che più mi interessa è capire come arrivarci. Avevo pensato di procedere con un'integrazione per parti, ma dopo un po' mi blocco.

 

Esiste un metodo più rapido e più furbo per calcolarlo? Eventualmente sapreste dirmi qual è e mostrarmi come si applica?

 

Calcolare l'integrale indefinito del coseno al cubo di x

 

∫ cos^3(x) dx

Domanda di giacomo22

 
Soluzioni

  • Per calcolare l'integrale del coseno al cubo conviene scrivere il coseno al cubo come prodotto tra il coseno e il coseno al quadrato, applicare la proprietà fondamentale della trigonometria e successivamente integrare per sostituzione.

    Tra un attimo saremo più precisi e mostreremo tutti i passaggi, ma intanto anticipiamo il risultato:

    ∫ cos^3(x) dx = sin(x)-(1)/(3)sin^3(x)+c, c ∈ R

    Calcolo dell'integrale del coseno al cubo di x

    ∫ cos^3(x) dx =

    scriviamo cos^3(x) come prodotto tra cos^2(x) e cos(x)

    = ∫ cos^2(x) cos(x) dx =

    sfruttiamo l'identità fondamentale della Trigonometria e sostituiamo cos^2(x)

    = ∫ (1-sin^2(x)) cos(x) dx = (•)

    A questo punto procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo

    sin(x) = t

    Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo

    cos(x) dx = dt

    Sostituiamo nell'integrale:

    (•) = ∫ (1-t^2) dt =

    per la linearità dell'integrale di Riemann

    = ∫ 1 dt-∫ t^2 dt =

    ci siamo così ricondotti a due integrali notevoli, che dovremmo saper calcolare a occhi chiusi

    = t-(t^3)/(3)+c =

    torniamo alla variabile x e sostituiamo t con sin(x)

    = sin(x)+(sin^3(x))/(3)+c

    In definitiva

    ∫ cos^3(x) dx = sin(x)-(1)/(3)sin^3(x)+c, c ∈ R

    ***

    Abbiamo finito! Per concludere ti segnaliamo il tool sul calcolo degli integrali online, con cui puoi verificare i risultati degli esercizi che svolgi autonomamente.

    Risposta di Galois
 
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