Soluzioni
  • Ad un'analisi preliminare, il limite

    \lim_{x\to0}\frac{(e(x^2))^2-e^{2}x^3}{e^{\cos(x)}-e+x\log(\sqrt{1+ex})}

    presenta una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere sfruttando gli sviluppi in serie di Taylor.

    Possiamo sfruttare gli sviluppo notevole di Taylor-Mc Laurin, in particolare:

    - lo sviluppo della funzione esponenziale

    e^{t}=1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+o(t^3)

    valido nel momento in cui t\to0

    - lo sviluppo della funzione coseno

    \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)

    valido nel momento in cui x\to0

    Poiché l'esponente del termine e^{\cos(x)} non è infinitesimo per x\to0 abbiamo bisogno di un piccolo barbatrucco algebrico prima di procedere con gli sviluppi. È sufficiente raccogliere parzialmente e tra i primi due termini del denominatore

    e^{\cos(x)}-e=e(e^{\cos(x)-1}-1)

    Osserviamo che per x\to0 il termine \cos(x)-1 è infinitesimo, dunque siamo autorizzati a utilizzare l'espansione notevole della funzione esponenziale

    e^{\cos(x)-1}=1+\cos(x)-1+\frac{(\cos(x)-1)^2}{2}+\frac{(\cos(x)-1)^3}{6}+o((\cos(x)-1)^3)=

    Rimpiazziamo ad ogni occorrenza del coseno di x il proprio sviluppo di Taylor-Mc Laurin

    =1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^2}{2}+

    \frac{\left(-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^3}{6}+o\left(\left(-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^3\right)=(\bullet)

    Prima di eseguire qualsiasi altro conto, semplifichiamo il più possibile l'o-piccolo, così da comprendere quali termini possiamo trascurare e quali no.

    Poiché sussiste la stima asintotica

    \left(-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^3\sim_{x\to0}-\frac{x^6}{8}

    allora, in accordo con le proprietà degli o-piccolo, otteniamo

    o\left(\left(-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^3\right)=o\left(-\frac{x^6}{8}\right)=o(x^6)

    Possiamo riscrivere l'espansione come

    (\bullet)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^2}{2}+\frac{\left(-\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)^3}{6}+o\left(x^6\right)=(\bullet\bullet)

    In virtù della proprietà sulla somma degli o-piccolo

    o(x^{n})+o(x^{m})=o(x^{p}) \ \ \ \mbox{con} \ p=\min(n,m)

    scopriamo che la somma tra gli o-piccolo coincide con o(x^3)

    o(x^3)+o(x^6)=o(x^3)

    Ciò significa che, nel momento in cui sviluppiamo le potenze, dobbiamo tenere a mente che tutti i termini con esponente maggiore di 3 vanno trascurati

    (\bullet\bullet)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)

    di conseguenza

    e(e^{\cos(x)-1}-1)=e-\frac{ex^2}{2}+o(x^3)

    Consideriamo il termine logaritmico

    \log(\sqrt{1+ex})

    che, sfruttando la definizione di potenza con esponente fratto, possiamo rivedere come

    \log((1+ex)^{\frac{1}{2}})

    Le proprietà dei logaritmi garantiscono inoltre l'uguaglianza

    \log((1+ex)^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\log\left(1+ex\right)

    Ora possiamo sfruttare lo sviluppo notevole associato alla funzione logaritmica

    \log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)

    il quale ci permette di esprimere lo sviluppo associato al termine \log(1+ex) rimpiazzando semplicemente ad ogni occorrenza di t il prodotto ex:

    \log(1+ex)=ex-\frac{e^2x^2}{2}+\frac{e^3x^3}{3}+o(x^3)

    Possiamo pertanto asserire che

    \frac{1}{2}\log(1+ex)=\frac{ex}{2}-\frac{e^{2}x^{2}}{4}+\frac{e^{3}x^{3}}{6}+o(x^3)

    Disponiamo finalmente di tutti gli ingredienti per scrivere l'espansione associata al denominatore

    \\ e^{\cos(x)}-e+x\log(\sqrt{1+ex})=-\frac{ex^2}{2}+\frac{ex^2}{2}-\frac{e^{2}x^3}{4}+o(x^3)= \\ \\ \\ =-\frac{e^{2}x^3}{4}+o(x^3)

    Per quanto concerne il numeratore,  possiamo mettere in evidenza i fattori comuni e^{2}x^3, così facendo il limite diventa

    \\ \lim_{x\to0}\frac{(e x^2)^2-e^2x^3}{e^{\cos(x)}-e+x\log(\sqrt{1+ex})}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{e^2x^3(x-1)}{-\frac{e^2}{4}x^3}= \frac{4e^{2}}{e^{2}}=4

    Abbiamo concluso!

    Risposta di Ifrit
 
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