Limite con Taylor, rapporto con esponenziali

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Mi è capitato un limite di una funzione fratta in cui compaiono logaritmi e esponenziali. Ha davvero un aspetto minaccio e penso si debba calcolare con gli sviluppi di Taylor.

 

lim_(x → 0)((e x^2)^2-e^2x^3)/(e^(cos(x))-e+xlog(√(1+ex)))

 

Aiutatemi per favore.

Domanda di xeltonx

 
Soluzioni

  • Ad un'analisi preliminare, il limite

    lim_(x → 0)((e(x^2))^2-e^(2)x^3)/(e^(cos(x))-e+xlog(√(1+ex)))

    presenta una forma indeterminata [(0)/(0)] che possiamo risolvere sfruttando gli sviluppi in serie di Taylor.

    Possiamo sfruttare gli sviluppo notevole di Taylor-Mc Laurin, in particolare:

    - lo sviluppo della funzione esponenziale

    e^(t) = 1+t+(t^2)/(2)+(t^3)/(6)+o(t^3)

    valido nel momento in cui t → 0

    - lo sviluppo della funzione coseno

    cos(x) = 1-(x^2)/(2)+o(x^3)

    valido nel momento in cui x → 0

    Poiché l'esponente del termine e^(cos(x)) non è infinitesimo per x → 0 abbiamo bisogno di un piccolo barbatrucco algebrico prima di procedere con gli sviluppi. È sufficiente raccogliere parzialmente e tra i primi due termini del denominatore

    e^(cos(x))-e = e(e^(cos(x)-1)-1)

    Osserviamo che per x → 0 il termine cos(x)-1 è infinitesimo, dunque siamo autorizzati a utilizzare l'espansione notevole della funzione esponenziale

    e^(cos(x)-1) = 1+cos(x)-1+((cos(x)-1)^2)/(2)+((cos(x)-1)^3)/(6)+o((cos(x)-1)^3) =

    Rimpiazziamo ad ogni occorrenza del coseno di x il proprio sviluppo di Taylor-Mc Laurin

    = 1-(x^2)/(2)+o(x^3)+((-(x^2)/(2)+o(x^3))^2)/(2)+

    ((-(x^2)/(2)+o(x^3))^3)/(6)+o((-(x^2)/(2)+o(x^3))^3) = (•)

    Prima di eseguire qualsiasi altro conto, semplifichiamo il più possibile l'o-piccolo, così da comprendere quali termini possiamo trascurare e quali no.

    Poiché sussiste la stima asintotica

    (-(x^2)/(2)+o(x^3))^3 ~ _(x → 0)-(x^6)/(8)

    allora, in accordo con le proprietà degli o-piccolo, otteniamo

    o((-(x^2)/(2)+o(x^3))^3) = o(-(x^6)/(8)) = o(x^6)

    Possiamo riscrivere l'espansione come

    (•) = 1-(x^2)/(2)+o(x^3)+((-(x^2)/(2)+o(x^3))^2)/(2)+((-(x^2)/(2)+o(x^3))^3)/(6)+o(x^6) = (• •)

    In virtù della proprietà sulla somma degli o-piccolo

    o(x^(n))+o(x^(m)) = o(x^(p)) con p = min(n,m)

    scopriamo che la somma tra gli o-piccolo coincide con o(x^3)

    o(x^3)+o(x^6) = o(x^3)

    Ciò significa che, nel momento in cui sviluppiamo le potenze, dobbiamo tenere a mente che tutti i termini con esponente maggiore di 3 vanno trascurati

    (• •) = 1-(x^2)/(2)+o(x^3)

    di conseguenza

    e(e^(cos(x)-1)-1) = e-(ex^2)/(2)+o(x^3)

    Consideriamo il termine logaritmico

    log(√(1+ex))

    che, sfruttando la definizione di potenza con esponente fratto, possiamo rivedere come

    log((1+ex)^((1)/(2)))

    Le proprietà dei logaritmi garantiscono inoltre l'uguaglianza

    log((1+ex)^((1)/(2))) = (1)/(2)log(1+ex)

    Ora possiamo sfruttare lo sviluppo notevole associato alla funzione logaritmica

    log(1+t) = t-(t^2)/(2)+(t^3)/(3)+o(t^3)

    il quale ci permette di esprimere lo sviluppo associato al termine log(1+ex) rimpiazzando semplicemente ad ogni occorrenza di t il prodotto ex:

    log(1+ex) = ex-(e^2x^2)/(2)+(e^3x^3)/(3)+o(x^3)

    Possiamo pertanto asserire che

    (1)/(2)log(1+ex) = (ex)/(2)-(e^(2)x^(2))/(4)+(e^(3)x^(3))/(6)+o(x^3)

    Disponiamo finalmente di tutti gli ingredienti per scrivere l'espansione associata al denominatore

    e^(cos(x))-e+xlog(√(1+ex)) = -(ex^2)/(2)+(ex^2)/(2)-(e^(2)x^3)/(4)+o(x^3) = -(e^(2)x^3)/(4)+o(x^3)

    Per quanto concerne il numeratore,  possiamo mettere in evidenza i fattori comuni e^(2)x^3, così facendo il limite diventa

    lim_(x → 0)((e x^2)^2-e^2x^3)/(e^(cos(x))-e+xlog(√(1+ex))) = lim_(x → 0)(e^2x^3(x-1))/(-(e^2)/(4)x^3) = (4e^(2))/(e^(2)) = 4

    Abbiamo concluso!

    Risposta di Ifrit
 
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