Soluzioni
  • Per stabilire se r,s

     r: x-z-2 = 0 ;-2y+z = 0 ; s: x+y-3z = 0 ; x-3y-z = 0

    siano effettivamente rette incidenti è sufficiente studiare il sistema lineare composto dalle equazioni cartesiane delle rette, ossia:

    x-z-2 = 0 ;-2y+z = 0 ; x+y-3z = 0 ; x-3y-z = 0

    In base al numero di soluzioni, possiamo distinguere i seguenti casi:

    - se il sistema è impossibile, le due rette non sono incidenti, né parallele e coincidenti. Tutt'al più possono essere rette sghembe o parallele e distinte;

    - Se il sistema ammette un'unica soluzione, r,s sono rette incidenti e il punto di intersezione coincide con la soluzione.

    - Se il sistema ammette ∞^(1), le rette sono parallele e coincidenti;

    Non possono presentarsi altri casi perché se il sistema ammettesse ∞^(2) soluzioni, implicherebbe che una delle due rappresentazioni cartesiane non individua propriamente una retta.

    Risolviamo il sistema esprimendolo innanzitutto in forma normale e avvalendoci in seguito del metodo di eliminazione di Gauss

    x-z-2 = 0 ;-2y+z = 0 ; x+y-3z = 0 ; x-3y-z = 0 → x-z = 2 ;-2y+z = 0 ; x+y-3z = 0 ; x-3y-z = 0

    Denotiamo con (A|b) la matrice completa

    (A|b) = (beginarrayccc|c1 0 -1 2 ; 0 -2 1 0 ; 1 1 -3 0 ; 1 -3 -1 0 endarray)

    e riduciamola a gradini: cancelliamo il primo elemento della terza e quello della quarta riga con le mosse

     R_3 → R_3-R_1 ; R_4 → R_4-R_1

    grazie alle quali otteniamo

    (A|b)'= (beginarrayccc|c1 0 -1 2 ; 0 -2 1 0 ; 0 1 -2 -2 ; 0 -3 0 -2 endarray)

    Cancelliamo il primo elemento non nullo della terza riga con la mossa

    R_3 → 2R_3+R_2

    e il primo elemento non nullo della quarta con la mossa elementare

    R_4 → R_4-(3)/(2)R_2

    Svolti dovuti calcoli, la matrice diverrà

    (A|b)''= (beginarrayccc|c1 0 -1 2 ; 0 -2 1 0 ; 0 0 -3 -4 ; 0 0 -(3)/(2) -2 endarray)

    Sostituiamo infine la quarta riga con quella che si ottiene dall'operazione elementare 2R_4-R_3

    (A|b)'''= (beginarrayccc|c1 0 -1 2 ; 0 -2 1 0 ; 0 0 -3 -4 ; 0 0 0 0 endarray)

    La riduzione è giunta al termine, perché (A|b)''' è una matrice a gradini. A questo punto non ci resta che considerare il sistema ridotto

    x-z = 2 ;-2y+z = 0 ;-3z = -4 

    e ricavarne la soluzione con le opportune sostituzioni all'indietro

    x-(4)/(3) = 2 ;-2y+(4)/(3) = 0 ; z = (4)/(3) → x = (10)/(3) ; y = (2)/(3) ; z = (4)/(3)

    Poiché il sistema ammette un'unica soluzione

    (x,y,z) = ((10)/(3),(2)/(3),(4)/(3))

    possiamo immediatamente concludere che le due rette sono incidenti e che il loro punto di intersezione è

    P((10)/(3),(2)/(3),(4)/(3))

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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