Soluzioni
  • Per stabilire se r,s

    \\ r:\ \begin{cases}x-z-2=0\\ -2y+z=0\end{cases} \\ \\ \\ s: \ \begin{cases}x+y-3z=0\\ x-3y-z=0\end{cases}

    siano effettivamente rette incidenti è sufficiente studiare il sistema lineare composto dalle equazioni cartesiane delle rette, ossia:

    \begin{cases}x-z-2=0 \\ -2y+z=0\\ x+y-3z=0\\ x-3y-z=0\end{cases}

    In base al numero di soluzioni, possiamo distinguere i seguenti casi:

    - se il sistema è impossibile, le due rette non sono incidenti, né parallele e coincidenti. Tutt'al più possono essere rette sghembe o parallele e distinte;

    - Se il sistema ammette un'unica soluzione, r,s sono rette incidenti e il punto di intersezione coincide con la soluzione.

    - Se il sistema ammette \infty^{1}, le rette sono parallele e coincidenti;

    Non possono presentarsi altri casi perché se il sistema ammettesse \infty^{2} soluzioni, implicherebbe che una delle due rappresentazioni cartesiane non individua propriamente una retta.

    Risolviamo il sistema esprimendolo innanzitutto in forma normale e avvalendoci in seguito del metodo di eliminazione di Gauss

    \begin{cases}x-z-2=0 \\ -2y+z=0\\ x+y-3z=0\\ x-3y-z=0\end{cases} \ \to\ \begin{cases}x-z=2\\ -2y+z=0\\ x+y-3z=0 \\ x-3y-z=0\end{cases}

    Denotiamo con (A|\mathbf{b}) la matrice completa

    (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&2\\ 0&-2&1&0\\ 1&1&-3&0\\ 1&-3&-1&0\end{array}\right)

    e riduciamola a gradini: cancelliamo il primo elemento della terza e quello della quarta riga con le mosse

    \\ R_3\ \to\ R_3-R_1 \\ \\ R_4 \ \to \ R_4-R_1

    grazie alle quali otteniamo

    (A|\mathbf{b})'=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&2\\ 0&-2&1&0\\ 0&1&-2&-2\\ 0&-3&0&-2\end{array}\right)

    Cancelliamo il primo elemento non nullo della terza riga con la mossa

    R_3\ \to \ 2R_3+R_2

    e il primo elemento non nullo della quarta con la mossa elementare

    R_4\ \to \ R_4-\frac{3}{2}R_2

    Svolti dovuti calcoli, la matrice diverrà

    (A|\mathbf{b})''=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&2\\ 0&-2&1&0\\ 0&0&-3&-4\\ 0&0&-\frac{3}{2}&-2\end{array}\right)

    Sostituiamo infine la quarta riga con quella che si ottiene dall'operazione elementare 2R_4-R_3

    (A|\mathbf{b})'''=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&2\\ 0&-2&1&0\\ 0&0&-3&-4\\ 0&0&0&0\end{array}\right)

    La riduzione è giunta al termine, perché (A|\mathbf{b})''' è una matrice a gradini. A questo punto non ci resta che considerare il sistema ridotto

    \begin{cases}x-z=2\\ -2y+z=0\\ -3z=-4\end{cases} 

    e ricavarne la soluzione con le opportune sostituzioni all'indietro

    \begin{cases}x-\dfrac{4}{3}=2 \\ \\ -2y+\dfrac{4}{3}=0 \\ \\ z=\dfrac{4}{3}\end{cases}\ \to \ \begin{cases}x=\dfrac{10}{3}\\ \\ y=\dfrac{2}{3}\\ \\ z=\dfrac{4}{3}\end{cases}

    Poiché il sistema ammette un'unica soluzione

    (x,y,z)=\left(\frac{10}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)

    possiamo immediatamente concludere che le due rette sono incidenti e che il loro punto di intersezione è

    P\left(\frac{10}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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