Soluzioni
  • Il nostro obiettivo prevede di dimostrare la formula sulla somma dei coefficienti binomiali

    {n\choose k}+{n\choose k-1}={n+1\choose k} \ \ \ \forall n,k\in\mathbb{N}  \ \mbox{t.c.} \ 1\le k\le n

    Prima di occuparcene, scriviamo la definizione di binomiale.

    Siano n,k due numeri naturali. Il binomiale n su k è il numero razionale dato da:

    {n\choose k}=\begin{cases}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}&\mbox{se} \ 0\le k\le n \\ \\ 0&\mbox{se} \ 0\le n<k\end{cases}

    dove n!, k! \ \mbox{e} \ (n-k)! sono i fattoriali di n,k\ \mbox{e} \ n-k rispettivamente.

    Dopo questo brevissimo ripasso, occupiamoci dell'uguaglianza.

    Dalla definizione di coefficiente binomiale seguono immediatamente le identità:

    \\ \bullet \ \ \ {n\choose k}=\frac{n!}{k! (n-k)!} \\ \\ \\ \bullet \ \ \ {n\choose k-1}=\frac{n!}{(k-1)![n-(k-1)]!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}\\ \\ \\ \bullet \ \ \ {n+1\choose k}=\frac{(n+1)!}{k! (n+1-k)!}

    Sfruttiamo le prime due per esplicitare la somma al primo membro.

    {n\choose k}+{n\choose k-1}=\frac{n!}{k! (n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)! (n-k+1)!}=(\bullet)

    Per svolgere l'addizione, dobbiamo fare in modo che i denominatori siano uguali, per questo motivo moltiplichiamo e dividiamo:

    - il primo addendo per n-k+1 (diverso da zero perché 1\le k\le n);

    - il secondo addendo per k (diverso da zero perché 1\le k \le n)

    così da ricavare l'espressione

    (\bullet)=\frac{(n-k+1) n!}{(n-k+1)(n-k)! k!}+\frac{n! k}{(n-k+1)! (k-1)! k}

    Interviene a questo punto la definizione ricorsiva di fattoriale, che ci permette di scrivere le seguenti identità

    \\ \bullet \ \ \ (n-k+1)(n-k)!=(n-k+1)! \\ \\ \bullet \ \ \ k(k-1)!=k!

    grazie alle quali

    \frac{(n-k+1)n!}{(n-k+1)(n-k)! k!}+\frac{n! k}{(n-k+1)! (k-1)! k}=

    diventa

    =\frac{(n-k+1)n!}{(n-k+1)! k!}+\frac{n! k}{k! (n-k+1)!}=

    Esplicitiamo la somma

    =\frac{(n-k+1)n!+n!k}{(n-k+1)!k!}=

    Raccogliamo il fattore comune n! al numeratore

    =\frac{n! [n-k+1+k]}{(n-k+1)! k!}=

    e cancelliamo k all'interno delle parentesi quadre

    =\frac{n! [n+1]}{(n-k+1)! k!}=(\bullet\bullet)

    Siamo agli sgoccioli! Notiamo che dalla definizione ricorsiva di fattoriale si ha che

    n! (n+1)= (n+1)!

    perciò la precedente espressione diventa

    (\bullet\bullet)=\frac{(n+1)!}{(n-k+1)! k!}={n+1\choose k}

    In definitiva, abbiamo dimostrato che:

    {n\choose k}+{n\choose k-1}={n+1\choose k} \ \ \ \forall n,k\in\mathbb{N} \ \mbox{t.c.} \ 1\le k\le n

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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