Soluzioni
  • Il nostro obiettivo è dimostrare la formula sulla somma dei coefficienti binomiali

    \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}=\dbinom{n+1}{k} \ \ \forall n,k\in\mathbb{N}, \ 1\le k\le n

    Prima di occuparcene scriviamo la definizione di coefficiente binomiale.

    Siano n,k due numeri naturali. Il binomiale n su k è dato da:

    \dbinom{n}{k}=\begin{cases}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}&\mbox{se} \ 0\le k\le n \\ \\ 0&\mbox{se} \ 0\le n<k\end{cases}

    dove n!, k! e (n-k)! sono i fattoriali di n,k e (n-k) rispettivamente.

    Dopo questo brevissimo ripasso, occupiamoci dell'uguaglianza.

    Dalla definizione di coefficiente binomiale seguono immediatamente le identità:

    \\ \bullet \ \dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k! (n-k)!} \\ \\ \\ \bullet \ \dbinom{n}{k-1}=\frac{n!}{(k-1)![n-(k-1)]!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}\\ \\ \\ \bullet \ \dbinom{n+1}{k}=\frac{(n+1)!}{k! (n+1-k)!}

    Sfruttiamo le prime due per esplicitare la somma al primo membro.

    \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}=\frac{n!}{k! (n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)! (n-k+1)!}=(\bigstar)

    Per svolgere l'addizione dobbiamo fare in modo che i denominatori siano uguali, per questo motivo moltiplichiamo e dividiamo:

    - il primo addendo per n-k+1 (diverso da zero perché 1\le k\le n);

    - il secondo addendo per k (diverso da zero perché k \ge 1)

    così da ricavare l'espressione

    (\bigstar)=\frac{(n-k+1) n!}{(n-k+1)(n-k)! k!}+\frac{n! k}{(n-k+1)! (k-1)!k}=

    Interviene a questo punto la definizione ricorsiva di fattoriale, che permette di scrivere le seguenti uguaglianze

    \\ (n-k+1)(n-k)!=(n-k+1)! \\ \\ k(k-1)!=k!

    Riprendiamo la somma nel punto in cui ci eravamo interrotti, che alla luce di queste uguaglianze diventa

    =\frac{(n-k+1)n!}{(n-k+1)! k!}+\frac{n!k}{(n-k+1)!k!}=

    La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori

    =\frac{(n-k+1)n!+n!k}{(n-k+1)!k!}=

    Raccogliamo il fattore comune n!

    =\frac{n! (n-k+1+k)}{(n-k+1)! k!}=

    e cancelliamo i termini opposti -k e k al numeratore

    =\frac{n! (n+1)}{(n-k+1)! k!}=

    Siamo agli sgoccioli! Per la definizione ricorsiva di fattoriale il numeratore è uguale a (n+1)!

    =\frac{(n+1)!}{(n-k+1)! k!}=\dbinom{n+1}{k}

    In definitiva abbiamo dimostrato che:

    \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}=\dbinom{n+1}{k} \ \ \forall n,k \in \mathbb{N}, \ 1 \le k \le n

    È fatta!

    Risposta di Galois
 
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