Soluzioni
  • Prima di procedere con la risoluzione dell'esercizio, consiglio la lettura della lezione dedicata alle formule per il calcolo dei volumi di solidi di rotazione con gli integrali.

    Analizziamo il problema dal punto di vista puramente geometrico, cercando di comprendere qual è la parte di piano che ruota.

    L'equazione 4x^2+9y^2=36 individua un luogo geometrico dei punti del piano molto particolare, ossia un'ellisse, avente asse maggiore a=3 e asse minore b=2.

    La condizione y\ge 0 impone di prendere in considerazione la parte limitata dall'asse delle ascisse (con equazione y=0) e dalla parte superiore dell'ellisse, ossia quella che giace nel primo e secondo quadrante.

    Per trovare il volume generato dalla rotazione attorno all'asse x dell'area interessata, dall'equazione dell'ellisse scriviamo y in funzione di x

    4x^2+9y^2=36\implies y^2=4-\frac{4}{9}x^2

    Estraiamo la radice quadrata membro a membro e teniamo a mente che \sqrt{y^2}=|y| così da ottenere

    |y|=\sqrt{4-\frac{4}{9}x^2}

    Poiché y\ge 0, per definizione di valore assoluto si ha che |y|=y pertanto l'espressione precedente diventa

    y=\sqrt{4-\frac{4}{9}x^2}

    Per determinare il volume V è sufficiente calcolare l'integrale

    V=\pi\int_{-3}^{3}\left[\sqrt{4-\frac{4}{9}x^2}\right]^2dx=

    ossia

    =\pi\int_{-3}^{3}\left(4-\frac{4}{9}x^2\right)dx=

    che possiamo facilmente calcolare medinate la regola per l'integrale di una potenza

    =\pi\left[4x-\frac{4}{27}x^3\right]_{-3}^{3}=16\pi

    L'esercizio è completo.

    Risposta di Ifrit
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