Esercizio teorico su limiti

Iniziamo: qui sarò sintetico con le definizioni, per tutti i ragguagli puoi consultare le lezioni dei vari link.

Funzione limitata: una funzione è limitata se e solo se esiste M>0 per cui vale:

è un asintoto orizzontale per la funzione per se e solo se:

Nota che quest'ultimo limite implica anche che:

Partiamo dalla espressione dalla espressione:

Moltiplichiamo per membro a membro. Essendo questa una quantità non negativa non inverte i segni delle disuguaglianze:

Passando al limite allora:

Per il teorema dei carabinieri abbiamo quindi che:

D'altro canto vale anche:

(è una proprietà del valore assoluto!)

Da cui:

Ancora una volta, il teorema dei Carabinieri ci permette di concludere che:

.