Soluzioni
  •  Problema interessante, mi devi dare il tempo di risolverlo :)

    Risposta di Ifrit
  • Iniziamo: qui sarò sintetico con le definizioni, per tutti i ragguagli puoi consultare le lezioni dei vari link.

    Funzione limitata: una funzione f:[0, +\infty) è limitata se e solo se esiste M>0 per cui vale:

    |f(x)|\le M\quad\forall x\in [0, +\infty)

    y=0 è un asintoto orizzontale per la funzione g(x) per x\to \infty se e solo se:

    \lim_{x\to+ \infty} g(x)= 0

    Nota che quest'ultimo limite implica anche che:

    \lim_{x\to +\infty}|g(x)|=0

    Partiamo dalla espressione dalla espressione:

    | f(x)|\le M

    Moltiplichiamo per |g(x)| membro a membro. Essendo questa una quantità non negativa non inverte i segni delle disuguaglianze:

    0\le |f(x) g(x)|\le M|g(x)|

    Passando al limite x\to \infty allora:

    0\le \lim_{x\to +\infty}|f(x) g(x)|\le\lim_{x\to +\infty}M|g(x)|= M*0=0

    Per il teorema dei carabinieri abbiamo quindi che:

    \lim_{x\to +\infty}|f(x) g(x)|=0

    D'altro canto vale anche:

    -|f(x) g(x)|\le f(x) g(x)\le |f(x) g(x)|

    (è una proprietà del valore assoluto!)

    Da cui:

    0=\lim_{x\to \infy}-|f(x) g(x)|\le \lim_{x\to \infty}f(x) g(x)\le\lim_{x\to \infty} |f(x) g(x)|=0

    Ancora una volta, il teorema dei Carabinieri ci permette di concludere che:

    \lim_{x\to \infty} f(x) g(x)=0.

    Risposta di Ifrit
 
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