Soluzioni
  • Facciamo una piccola premessa teorica. Consideriamo due spazi vettoriali V,W finitamente generati su un campo \mathbb{K} e sia F:V \to W un'applicazione lineare.

    Per definizione di funzione suriettiva, F è suriettiva se e solo se l'immagine dell'applicazione di F è uguale a W

    F \mbox{ suriettiva} \iff \mbox{Im}(F)=W

    Se due spazi vettoriali sono uguali hanno la stessa dimensione, e viceversa, per cui possiamo asserire che

    F \mbox{ suriettiva} \iff \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=\mbox{dim}(W)

    ossia F è suriettiva se e solo se la dimensione dell'immagine di F è uguale alla dimensione del codominio.

    Veniamo ora all'esercizio. Sappiamo che F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 è un'applicazione lineare e dobbiamo stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

    a) F è suriettiva se e solo se \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=0;

    b) F è suriettiva se e solo se \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=3;

    c) F è suriettiva se e solo se \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=4.

    Il codominio di F è \mathbb{R}^4, la cui dimensione è 4, per cui F è suriettiva se e solo se \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=4.

    Possiamo così concludere che l'unica affermazione vera è la c), mentre a) e b) sono false.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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