Quesito su dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare e suriettività
Preparando l'esame di Algebra Lineare ho incontrato alcuni quesiti del tipo Vero o Falso sulle applicazioni lineari suriettive e sulla dimensione dell'immagine a cui non sto riuscendo a rispondere.
Sia 
un'applicazione lineare. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando le risposte.
a) 
è suriettiva se e solo se 
;
b) è suriettiva se e solo se 
;
c) è suriettiva se e solo se 
.
-
Facciamo una piccola premessa teorica. Consideriamo due spazi vettoriali
finitamente generati su un campo 
e sia 
un'applicazione lineare.Per definizione di funzione suriettiva,
è suriettiva se e solo se l'immagine dell'applicazione di è uguale a 
Se due spazi vettoriali sono uguali hanno la stessa dimensione, e viceversa, per cui possiamo asserire che
ossia
è suriettiva se e solo se la dimensione dell'immagine di è uguale alla dimensione del codominio.Veniamo ora all'esercizio. Sappiamo che
è un'applicazione lineare e dobbiamo stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.a)
è suriettiva se e solo se ;b)
è suriettiva se e solo se ;c)
è suriettiva se e solo se .Il codominio di
è 
, la cui dimensione è 
, per cui è suriettiva se e solo se .Possiamo così concludere che l'unica affermazione vera è la c), mentre a) e b) sono false.
Fine!
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