Soluzioni
  • Facciamo una piccola premessa teorica. Consideriamo due spazi vettoriali V,W finitamente generati su un campo K e sia F:V → W un'applicazione lineare.

    Per definizione di funzione suriettiva, F è suriettiva se e solo se l'immagine dell'applicazione di F è uguale a W

    F suriettiva ⇔ Im(F) = W

    Se due spazi vettoriali sono uguali hanno la stessa dimensione, e viceversa, per cui possiamo asserire che

    F suriettiva ⇔ dim(Im(F)) = dim(W)

    ossia F è suriettiva se e solo se la dimensione dell'immagine di F è uguale alla dimensione del codominio.

    Veniamo ora all'esercizio. Sappiamo che F:R^3 → R^4 è un'applicazione lineare e dobbiamo stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

    a) F è suriettiva se e solo se dim(Im(F)) = 0;

    b) F è suriettiva se e solo se dim(Im(F)) = 3;

    c) F è suriettiva se e solo se dim(Im(F)) = 4.

    Il codominio di F è R^4, la cui dimensione è 4, per cui F è suriettiva se e solo se dim(Im(F)) = 4.

    Possiamo così concludere che l'unica affermazione vera è la c), mentre a) e b) sono false.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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