Quesito su dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare e suriettività

Facciamo una piccola premessa teorica. Consideriamo due spazi vettoriali finitamente generati su un campo e sia un'applicazione lineare.

Per definizione di funzione suriettiva, è suriettiva se e solo se l'immagine dell'applicazione di è uguale a

Se due spazi vettoriali sono uguali hanno la stessa dimensione, e viceversa, per cui possiamo asserire che

ossia è suriettiva se e solo se la dimensione dell'immagine di è uguale alla dimensione del codominio.

Veniamo ora all'esercizio. Sappiamo che è un'applicazione lineare e dobbiamo stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a) è suriettiva se e solo se ;

b) è suriettiva se e solo se ;

c) è suriettiva se e solo se .

Il codominio di è , la cui dimensione è , per cui è suriettiva se e solo se .

Possiamo così concludere che l'unica affermazione vera è la c), mentre a) e b) sono false.

Fine!