Facciamo una piccola premessa teorica. Consideriamo due spazi vettoriali
finitamente generati su un campo
e sia
un'applicazione lineare.
Per definizione di funzione suriettiva,
è suriettiva se e solo se l'immagine dell'applicazione di
è uguale a
Se due spazi vettoriali sono uguali hanno la stessa dimensione, e viceversa, per cui possiamo asserire che
ossia
è suriettiva se e solo se la dimensione dell'immagine di
è uguale alla dimensione del codominio.
Veniamo ora all'esercizio. Sappiamo che
è un'applicazione lineare e dobbiamo stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
a)
è suriettiva se e solo se
;
b)
è suriettiva se e solo se
;
c)
è suriettiva se e solo se
.
Il codominio di
è
, la cui dimensione è
, per cui
è suriettiva se e solo se
.
Possiamo così concludere che l'unica affermazione vera è la c), mentre a) e b) sono false.
Fine!
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