Soluzioni
  • Per risolvere la disequazione di terzo grado

    x^3+x^2+x+1\ge 0

    usiamo prima di tutto il metodo di raccoglimento parziale: se raccogliamo x^2 tra i primi due termini

    x^2(x+1)+x+1\ge 0

    e se raccogliamo il fattore comune x+1, la disequazione diventa

    (x^2+1)(x+1)\ge 0

    Adesso dobbiamo studiare il segno dei due fattori separatamente:

    \bullet\ \ \ x^2+1\ge 0

    è una disequazione di secondo grado sempre soddisfatta, perché il primo membro è dato dalla somma tra un quadrato e un termine positivo.

    \bullet \ \ \ x+1\ge 0

    è una disequazione di primo grado, soddisfatta per x\ge -1, pertanto il fattore x+1 è:

    - positivo per x>-1;

    - nullo per x=-1;

    - negativo per x<-1.

    Riportiamo i segni in una tabella e usiamo la regola dei segni per calcolare quello di (x^2+1)(x-1)

    \begin{array}{l|rrrr}&&-1&&\\ \hline &&&& \\ x^2+1&+++++&+&+++++\\ &&&& \\ x+1&-----&0&+++++\\ &&&& \\ \hline &&&& \\ (x^2+1)(x-1)&-----&0&+++++\end{array}

    Poiché il verso della disequazione è \ge 0, l'insieme delle soluzioni è dato dagli intervalli che rendono il primo membro maggiore o uguale a zero, dunque:

    x\ge -1

    e abbiamo finito. :)

    Risposta di Ifrit
 
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