Disequazione di terzo grado, problema con un esercizio

Mi servirebbe una mano per risolvere una disequazione di terzo grado. In teoria, dovrei scomporre il polinomio e studiare il segno dei fattori, almeno così il mio insegnante mi ha suggerito. C'è solo un problema: non capisco quale regola di scomposizione si debba usare.

Determinare le soluzioni della disequazione di terzo grado

x^3+x^2+x+1 ≥ 0

Grazie.

Domanda di Tom
Soluzione

Per risolvere la disequazione di terzo grado

x^3+x^2+x+1 ≥ 0

usiamo prima di tutto il metodo di raccoglimento parziale: se raccogliamo x^2 tra i primi due termini

x^2(x+1)+x+1 ≥ 0

e se raccogliamo il fattore comune x+1, la disequazione diventa

(x^2+1)(x+1) ≥ 0

Adesso dobbiamo studiare il segno dei due fattori separatamente:

• x^2+1 ≥ 0

è una disequazione di secondo grado sempre soddisfatta, perché il primo membro è dato dalla somma tra un quadrato e un termine positivo.

• x+1 ≥ 0

è una disequazione di primo grado, soddisfatta per x ≥ -1, pertanto il fattore x+1 è:

- positivo per x > -1;

- nullo per x = -1;

- negativo per x < -1.

Riportiamo i segni in una tabella e usiamo la regola dei segni per calcolare quello di (x^2+1)(x-1)

beginarrayl|rrrr -1 ; hline ; x^2+1 +++++ + +++++; ; x+1 ----- 0 +++++; ; hline ; (x^2+1)(x-1) ----- 0 +++++ endarray

Poiché il verso della disequazione è ≥ 0, l'insieme delle soluzioni è dato dagli intervalli che rendono il primo membro maggiore o uguale a zero, dunque:

x ≥ -1

e abbiamo finito. :)

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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