Soluzioni
  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Temo di non aver capito il tuo svolgimento, ad ogni modo in questo caso ti basta osservare che il numeratore vale, nel passaggio al limite

    \sqrt{3}-1

    calcolato per sostituzione diretta del valore cui tende la x: x\to 0.

    Per quanto riguarda il denominatore, non si può applicare il limite notevole del logaritmo in quel modo...Temo che tu abbia sbagliato!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ci ho aggiunto +1 e -1 al logaritmo scusa forse non l'ho riportato li ma nell'argomento di logaritmo ci ho messo +1-1 cosa non ti è chiaro del mio svolgimento?

     

    Risposta di 904
  • Per cominciare, non mi è chiaro quello che hai fatto a numeratore. Poi a denominatore: per poter applicare il limite notevole del logaritmo devi scriverne l'argomento come

    1+infinitesimo

    e non come

    \frac{1+infinitesimo}{2}

    che ne dici?

    Risposta di Omega
  • il limite notevole in questione non è log(x+1)/x o mi sbaglio?

    Risposta di 904
  • {tex}\frac{log_2\left(\frac{1+tan^3x }{2} +1-1\right)}{(\frac{1+tan^3x }{2} -1\right)}

    (\frac{1+tan^3x }{2} -1\right){/tex}

    Risposta di 904
  • Ricopio il tuo codice e lo aggiusto con i tag:

    tex}\frac{log_2\left(\frac{1+tan^3x }{2} +1-1\right)}{\left(\frac{1+tan^3x }{2} -1\right)}\left(\frac{1+tan^3x }{2} -1\right)

    Il problema è quel 2 che hai tenuto al denominatore dell'argomento del logaritmo. E soprattutto, l'argomento del logaritmo non è un infinitesimo, non devi applicare nessun limite notevole! Piuttosto, avresti dovuto effettuare uno sviluppo di Taylor per le funzioni del denominatore (che, complessivamente, è un infinitesimo).

    Risposta di Omega
  • Si ma non potevo assolutamente usare taylor e poi non mi sembra giusto mettere all'esame un limite con le trappole all'interno!!!

    Risposta di 904
  • Perché non potevi usare Taylor?

    Risposta di Omega
  • la traccia me lo vietava diceva non usare ne taylor ne hopital!

    Risposta di 904
  • Allora se proprio devi usare i limiti notevoli, puoi farlo, ma alla condizione di apparecchiare per bene il denominatore:

    \log_{2}{\left(\frac{1+\tan^3{(x)}}{2}\right)}=\log_{2}{\left(1+\tan^3{(x)}\right)}-\log_{2}{(2)}

    dopo aver applicato una nota proprietà dei logaritmi.

    Adesso guardiamo il denominatore nel suo complesso

    \log_{2}{\left(1+\tan^3{(x)}\right)}-\log_{2}{(2)}+\cos^3{(x)}

    Possiamo applicare il limite notevole del logaritmo, passando per equivalenza asintotica a

    \frac{1}{\ln{(2)}}\tan^3{(x)}-\log_{2}{(2)}+\cos^3{(x)}

    poi banalmente

    \frac{1}{\ln{(2)}}\tan^3{(x)}-1+\cos^3{(x)}

    Applichiamo il limite notevole della tangente

    \frac{1}{\ln{(2)}}x^3-1+\cos^3{(x)}

    Riscriviamo

    \frac{1}{\ln{(2)}}x^3-(1-\cos^3{(x)})

    Prima di usare il limite notevole del coseno, scomponiamo (1-y^3)=(1-y)(1+y+y^2) trovando

    \frac{1}{\ln{(2)}}x^3-(1-\cos{(x)})(1+\cos{(x)}+2\cos{(x)})

    usiamo il limite notevole del coseno e valutiamo il secondo fattore in x=0

    \frac{1}{\ln{(2)}}x^3-\frac{1}{2}x^2(4)

    cioè

    \frac{1}{\ln{(2)}}x^3-2x^2

    L'infinitesimo principale è

    -2x^2

    Metti tutto insieme: il limite vale -\infty

    Namasté!

    Risposta di Omega
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